lect-05

Lecture 5 - Electromagnetic induction

This directory contains the Lecture Notes for Lecture 5, Elektromagnetisk induktion (English: Electromagnetic induction), including all TeX code (plain TeX, no LaTeX), MetaPost figures and supporting material.

Primary files of interest

lecture-05.tex - Plain TeX source code for the lecture.

lecture-05.pdf - Compiled document containing the Lecture Notes.

Summary of the lecture (Swedish)

Ämnet för föreläsningen beskrivs kort och koncist med Michael Faradays egna ord (1831), fritt tolkade som “Ett varierande magnetfält inducerar ett elektriskt fält”. Vi går igenom definitionerna av magnetiskt flöde Φ_M och det historiskt betingade begreppet elektromotorisk “kraft”.

Vi härleder Faradays induktionslag E = −dΦ_M/dt i två separata och inbördes sammanhållna fall. Det första fallet introduceras för sin enkelhet och intuitivt greppbara geometri, där vi studerar en rektangulär strömslinga som förs genom ett inhomogent magnetiskt fält och kommer fram till formen på Faradays induktionslag. Det andra fallet är en formell härledning av Faradays induktionslag för en godtycklig rörligt geometri i form av en slinga med godtycklig hastighet längs med sin trajektoria, samt med ett godtyckligt varierande magnetfält.

Vi noterar att Faradays induktionslag härleds enbart utifrån Lorentz kraftlag och ej involverande vare sig Coulombs eller Biot–Savarts lag eller nåot av deras derivat i det elektromagnetiska “släktträdet”; i och med detta har vi i Faradays induktionslag avsaknad av såväl den elektriska permittiviteten ε₀ som den magnetiska permeabiliteten µ₀. Utifrån Faradays induktionslag formulerar vi Lenz lag som slutsatsen att en inducerad ström alltid har en riktning som motverkar orsaken till att den uppkom, och vi går utifrån denna princip igenom en samling med tankeexperiment med bäring på tolkning av elektromagnetisk induktion.

Med utgångspunkt i Faradays induktionslag härleder vi Faradays lag ∇×E = −∂B/∂t, eller “Maxwell–Faradays lag”, på differential- och integralform.

Vi avslutar med att gå igenom hur två strömbärande slingor påverkar varandra genom ömsesidig induktion, och vi härleder Neumanns formel för den ömsesidiga induktansen. Specifikt går vi igenom tolkningen av Neumanns formel i form av reciprocitet mellan två slingor, där vi har det smått förbluffande resultatet att det magnetiska flöde som uppfångas av en slinga från en ström i den andra slingan exakt motsvaras av det magnetiska flöde som den andra slingan skulle uppfånga om istället den första slingan drevs med exakt samma ström.

Contents

1. Introduktion - Faradays induktionslag

2. Grundläggande begrepp inför Faradays induktionslag

   2.1. Definition: Magnetiskt flöde

   2.2. Magnetisk flödestäthet och lite terminologi

   2.3. Definition: Elektromotorisk "kraft" - EMK

3. Faradays induktionslag härledd för en rektangulär slinga med konstant hastighet

   3.1. Observation I kring Faradays induktionslag - Avsaknad av permittivitet och permebilitet

   3.2. Observation II kring Faradays induktionslag - Fysisk vs virtuell slinga

   3.3. Observation III kring Faradays induktionslag - Negativt tecken och Lenz lag

4. Lenz lag som rimlighetsbedömning av lösningar till induktionsproblem

5. Generell härledning av Faradays induktionslag

6. Faradays induktionslag för stationära slingor

7. Spolar och utväxling på det magnetiska flödet

8. Faradays lag på differentialform

9. Faradays lag på integralform

10. Tre principiella specialfall för induktion

11. Ömsesidig induktans

12. Neumanns formel för den ömsesidiga induktansen

    12.1. Ett par observationer kring Neumanns formel

13. Kontinuitetsekvationen - Teaser inför Maxwell's ekvationer

14. Sammanfattning av Föreläsning 5 - Elektromagnetisk induktion

Compiling the TeX code and figures

In this directory, the included Makefile can be used to regenerate the documents, figures and graphs. Just run make and ensure to install any missing components in case there are any complaints.

List of figures

figs/faradayelement.mp (figs/faradayelement.pdf) MetaPost drawing of the enlarged area element dA, being part of the "ribbon" between the closed trajectory Gamma(t) and Gamma(t+dt) in the formal and general derivation of Faradays law of induction (the "flux law"). This figure is part of the figure drawn by the MetaPost code in faradayrib.mp.

figs/faradayrect.mp (figs/faradayrect.pdf) MetaPost drawing of the setup of a closed, rectangular current-carrying loop dragged over a homogeneous field in such a way that the magnetic flux through the loop is linearly decreasing with time. This is the simplest illustration of the Faraday induction law, based directly on the Lorentz force acting upon the charges in the conducting wire, and serves as an illustration of the general case.

figs/faradayrib.mp (figs/faradayrib.pdf) MetaPost drawing of the setup of a closed current-carrying loop and the electro-motoric force (EMF) driving a current through this whenever the magnetic flow enclosed by the loop is altered, either by means of a magnetic field which is changing in time or by means of a change in the orientation or position of the loop itself. This is the basic setup in which we derive Faraday's law of induction.

figs/inductance.mp (figs/inductance.mp.pdf) MetaPost drawing of the geometry used in deriving the mutual inductance between two conducting loops Gamma and Gamma'.

figs/inductioncases.mp (figs/inductioncases.pdf) MetaPost drawing of the three principal ways of inducing an electromotoric force (EMF) be the Faraday law of induction (flux law), being (1) a closed circuit moving through a stationary inhomogeneous magnetic field, (2) a stationary closed circuit through which an inhomogeneous magnetic field is moving, and (3) a stationary closed circuit through which a the magnetic flux is varying in time.

figs/lenz.mp (figs/lenz.pdf) MetaPost drawing of a set of eight geometries and thought-experients concerning the interpretation of Lenz law and how to sanity-check results in induction problems.

figs/magflow.mp (figs/magflow.pdf) MetaPost drawing of electric flow through a surface, including a displayed equation with the definition of electric flow.

Copyright

Copyright (C) 2025, Fredrik Jonsson, under GPL 3.0.