This repository contains all TeX code (plain TeX, no LaTeX), MetaPost figures and supporting material as used in my lectures on Electromagnetic Theory II (1TE626) for Engineering Physics (master level) at Uppsala University.
The repository contains the following subdirectories, one for each lecture:
lect-01 Föreläsning 1 - Elektrostatik, superpositionsprincipen
och Gauss lag
(Lecture 1 - Electrostatics, the superposition principle and
Gauss law)
lect-02 Föreläsning 2 - Elektrostatisk potential och
tillämpningar av Gauss lag
(Lecture 2 - Electrostatic potential and applications of Gauss'
law)
lect-03 Föreläsning 3 - Spegelladdningar, randvillkor och
entydighet för lösningar till potentialproblem
(Lecture 3 - Method of images for charges, boundary conditions
and the uniqueness theorem, for the scalar potential)
lect-04 Föreläsning 4 - Magnetostatik
(Lecture 4 - Magnetostatics)
lect-05 Föreläsning 5 - Elektromagnetisk induktion
(Lecture 5 - Electromagnetic induction)
lect-06 Föreläsning 6 - Elektriska fält i material
(Lecture 6 - Electric fields in materials)
lect-07 Föreläsning 7 - Magnetiska fält i material
(Lecture 7 - Magnetic fields in materials)
lect-08 Föreläsning 8 - Multipolutvecklingen
(Lecture 8 - The multipole expansion)
lect-09 Föreläsning 9 - Maxwells ekvationer och vågutbredning
(Lecture 9 - Maxwell's equations and electromagnetic waves)
lect-10 Föreläsning 10 - Vågutbredning i homogena och isotropa
dielektrika
(Lecture 10 - Electromagnetic waves in homogeneous and isotropic
dielectrics)
lect-11 Föreläsning 11 - Retarderade potentialer som lösningar
till Maxwells ekvationer
(Lecture 11 - Retarded potentials as solutions to Maxwell's
equations)
Reports on errors, inconsistencies or improvements in general are most welcome!
In each directory, the included Makefile can be used to regenerate the
documents, figures and graphs. Just run make and ensure to install any
missing components in case there are any complaints.
In order to generate all documents and figures in all lectures, just run
make in the elmagii root directory. In order to clean up all directories,
just run make clean in the elmagii root directory.
Föreläsning 1 - Elektrostatik, superpositionsprincipen och Gauss lag
Med en kort sammanfattning av historiken bakom elektrostatik och upptäckten av elektronen som elementarladdning går vi direkt in på Coulombs lag för växelverkan mellan laddade partiklar. Coulombs lag, som i grund och botten kan härledas från utbyte av virtuella fotoner mellan laddade elementarpartiklar, tas här som ett axiom, från vilket vi härleder fram motsvarande kraft på en testladdning från ett system av laddningar, ur vilken det elektriska fältet definieras.
En genomgång av superpositionsprincipen för elektriska fält följs av en härledning av Coulomb-växelverkan för en kontinuerlig distribution av laddningstäthet, den så kallade Coulombs generaliserade lag, eller kort och gott “Coulombintegralen”. Vi introducerar det elektriska flödet som integralen av det elektriska fältet över en godtycklig yta, utifrån vilket vi härleder Gauss lag för elektriska fält, tillämpbar på godtyckliga laddningsfördelningar i form av punkt- linje- yt- eller volymladdningar. Slutligen avslutar vi med en härledning av Gauss lag på differentialform.
Föreläsning 2 - Elektrostatisk potential och tillämpningar av Gauss lag
Ett par enkla exempel på utnyttjande av symmetrier inom elektrostatik med Gauss lag gås igenom. Vi bevisar att i elektrostatiska problem är alltid ∇ × E = 0, vilket följer direkt av Stokes teorem applicerat på en sluten slinga i ett statiskt elektriskt fält från en punktladdning. Detta resultat generaliseras därefter med superpositionsprincipen för en godtycklig laddningsfördelning.
Att ∇ × E = 0 gör att vi direkt kan formulera det statiska elektriska fältet i termer av en skalär potential φ enligt E = −∇φ, en potential som vi därefter härleder den explicita integralformen för, uttryckt i laddningstäthet. Vi härleder uttrycken för upplagrad potentiell energi i termer av den elektriska potentialen, och vi går igenom paradoxen i att det vektorvärda elektriska fältet E kan extraheras ur en enda skalär potential φ.
Vi avslutar föreläsningen med att utifrån Gauss lag för det elektriska fältet på differentialform omformulera denna i termer av den skalära potentialen som Poissons ekvation ∇2 φ = −ρ/ε0.
Föreläsning 3 - Spegelladdningar, randvillkor och entydighet för lösningar till potentialproblem
Genom att visa på att Laplaces ekvation ∇2 φ = 0 saknar lokala extrempunkter, och har samtliga extrempunkter i randvärden till domänen där vi löser ekvationen, så kan vi dra slutsatsen att en lösning φ till Laplaces ekvation också är entydig, det vill säga att om vi finner en lösning φ så är det också den enda existerande lösningen. Med utgångspunkt i detta finner vi därefter att även Poissons ekvation ∇2 φ = ρ/ε0 i direkt närvaro av en laddningstäthet ρ även den ger entydighet för lösningar φ.
Vi kan med detta visa att en domän som är omgiven av ett skal som hålls vid konstant potential φ0 direkt ger att det elektriska fältet innanför skalet är identiskt noll, vilket är principen för “Faradays bur”.
Utifrån entydighetsteoremet för Laplace och Poissons ekvation kan vi visa på hur vi kan konstruera så kallade “virtuella spegelladdningar” för att lösa elektrostatiska problem i närvaro av fria laddningar i elektriskt ledande domäner eller ytor, specifikt för plana ytor mellan ledare eller dieletrika samt cylinderytor och sfärer.
Slutligen så tar vi fram en metod för hur den resulterande laddningstätheten på en yta av ledande material kan tas fram med de virtuella spegelladdningarna.
Med en kort sammanfattning av historiken bakom upptäckandet av magnetiska fält går vi in på själva definitionen av ett magnetiskt fält som den kraft som via Lorentz kraftlag utövas på en laddad partikel i rörelse. Utifrån denna formuleras Ampères kraftlag för strömslingor, samt att vi kan dra slutsatsen att kraften på fria laddningar aldrig utför något arbete.
Då vi generaliserar strömbegreppet till en strömtäthet J kan vi under användande av Gauss lag ta fram kontinuitetsekvationen för laddning, som länkar ihop divergensen ∇ · J hos strömtätheten med tidsderivatan av laddningstätheten ρ. Biot–Savarts lag introduceras som ett axiom för det magnetfält som genereras av en ström traverserande en strömslinga, vilket för övrigt är första momentet där den magnetiska permeabiliteten µ0 introduceras.
Utifrån formen på Biot–Savarts lag för generering av magnetfält visar vi att ∇ · B = 0 alltid är uppfyllt, vilket påvisar att magnetiska monopoler (magnetisk laddning) ej existerar, och att magnetism alltid endast yttrar sig i form av magnetiska dipoler eller högre ordningar i multipolutvecklingen.
Vi visar att i magnetostatik kan rotationen av magnetfältet erhållas som ∇ × B = µ0 J, kallad Ampères lag. Slutligen visar vi på att icke-existensen av magnetiska monopoler direkt har som följd att vi kan tolka det magnetiska fältet som härrörande från en vektorpotential A, i analogi med den skalära potentialen φ inom elektrostatik, som B = ∇ × A. Ampères lag kan tolkas i termer av denna vektorpotential som Poissons ekvation ∇2 A = −µ0 J med strömtätheten som källterm.
Föreläsning 5 - Elektromagnetisk induktion
Ämnet för föreläsningen beskrivs kort och koncist med Michael Faradays egna ord (1831), fritt tolkade som “Ett varierande magnetfält inducerar ett elektriskt fält”. Vi går igenom definitionerna av magnetiskt flöde ΦM och det historiskt betingade begreppet elektromotorisk “kraft”.
Vi härleder Faradays induktionslag E = −dΦM/dt i två separata och inbördes sammanhållna fall. Det första fallet introduceras för sin enkelhet och intuitivt greppbara geometri, där vi studerar en rektangulär strömslinga som förs genom ett inhomogent magnetiskt fält och kommer fram till formen på Faradays induktionslag. Det andra fallet är en formell härledning av Faradays induktionslag för en godtycklig rörligt geometri i form av en slinga med godtycklig hastighet längs med sin trajektoria, samt med ett godtyckligt varierande magnetfält.
Vi noterar att Faradays induktionslag härleds enbart utifrån Lorentz kraftlag och ej involverande vare sig Coulombs eller Biot–Savarts lag eller nåot av deras derivat i det elektromagnetiska “släktträdet”; i och med detta har vi i Faradays induktionslag avsaknad av såväl den elektriska permittiviteten ε0 som den magnetiska permeabiliteten µ0. Utifrån Faradays induktionslag formulerar vi Lenz lag som slutsatsen att en inducerad ström alltid har en riktning som motverkar orsaken till att den uppkom, och vi går utifrån denna princip igenom en samling med tankeexperiment med bäring på tolkning av elektromagnetisk induktion.
Med utgångspunkt i Faradays induktionslag härleder vi Faradays lag ∇×E = −∂B/∂t, eller “Maxwell–Faradays lag”, på differential- och integralform.
Vi avslutar med att gå igenom hur två strömbärande slingor påverkar varandra genom ömsesidig induktion, och vi härleder Neumanns formel för den ömsesidiga induktansen. Specifikt går vi igenom tolkningen av Neumanns formel i form av reciprocitet mellan två slingor, där vi har det smått förbluffande resultatet att det magnetiska flöde som uppfångas av en slinga från en ström i den andra slingan exakt motsvaras av det magnetiska flöde som den andra slingan skulle uppfånga om istället den första slingan drevs med exakt samma ström.
Föreläsning 6 - Elektriska fält i material
I och med denna föreläsning lämnar vi vakuumbeskrivningen av fält och gå in på växelverkan mellan elektriska eller magnetiska fält och materia. Vi börjar med en övergripande bild av hur vi successivt kan gå från en kvantmekanisk beskrivning av denna växelverkan till makroskopiska begrepp som susceptibiliteter och brytningsindex.
Den klassiska dipolmodellen för elektrisk polarisering av ett materials molekyler av elektriska fält introduceras, och ett linjärt samband mellan pålagt externt elektriskt fält och det resulterande elektriska dipolmomentet hos mediet erhålls. En medelvärdesbildning över molekylernas elektriska dipolmoment ger den elektriska polarisationsdensiteten hos det dielektriska mediet, och vi formulerar ur denna den elektriska susceptibiliteten χe och den relativa elektriska permittiviteten εr. Vi härleder generaliseringen för Gauss lag för den elektriska flödestätheten D som ∇ · D = ρf, där ρf är den fria laddningstätheten.
Randvillkor och övergångar mellan olika dielektrika härleds för den elektriska fältstyrkan E och den elektriska flödestätheten D, för deras normal- och tangentialkomponenter. Slutligen formulerar vi måttet på upplagrad elektrisk energi i ett dielektrikum.
Föreläsning 7 - Magnetiska fält i material
I denna föreläsning analyserar vi vad som händer då det magnetiska spinnet hos material linjeras och magnetiserar materialet, antingen genom ett externt pålagt magnetiskt fält eller genom att spinnen är naturligt linjerade i materialet, i så kallade permanentmagneter.
Krafter och moment på magnetiska dipoler extraheras från upplagrade energier för dipoler i elektriska eller magnetiska fält, och vi introducerar magnetisering som en “magnetisk polarisationsdensitet”, i analogi med den elektriska motsvarigheten. Vi diskuterar översiktligt den upplagrade energin i ett magnetiserat medium och effekten av hysteres som effekt av ett varierande externt pålagt magnetfält.
Slutligen går vi igenom hur vektorpotentialen A(x, t) uttrycks för ett objekt med godtycklig magnetisering M(x, t), och finner att uttrycket för vektorpotentialen är ekvivalent med om det magnetiserade objektet istället hade varit konstruerat som ekvivalenta volyms- och ytströmmar Jb och Kb av bundna laddningar.
Föreläsning 8 - Multipolutvecklingen
Vi lämnar för denna föreläsning dipolmodellen för ett tag, och visar på att andra konstruktioner av laddningsfördelningar, exempelvis kvadrupoler och oktopoler, ger bidrag till fält som avklingar med en annan takt en det klassiska “1/r2”-uppträdandet. Vi utgår från de klassiska integralerna för den skalära potentialen φ och vektorpotentialen A och ägnar oss åt en statisk modell för multipolutvecklingen.
Vi går igenom begreppen dipol, kvadrupol, oktopol och högre ordningar; specifikt visar vi på att även det enklast tänkbara fallet av en elektrisk dipol har högre ordningars multipolmoment närvarande, men att dessa oftast försummas vid betraktelse på stora avstånd.
Föreläsningen avslutas med att demonstrera multipolutvecklingen för generella laddningsfördelningar i termer av skalär potential, samt fastställande av dipolapproximationen för elektrostatiska och magnetostatiska fält.
Föreläsning 9 - Maxwells ekvationer och vågutbredning
Faradays och Ampères lagar sys tillsammans med Gauss lag för det elektriska och magnetiska fältet slutligen ihop till Maxwells ekvationer. Nyckeln till dessa kommer ifrån Maxwells generalisering av Ampères lag, där Maxwell kom på att lösningen till problemet med att kontinuitetsekvationen för elektrisk laddning inte uppfylldes för tidsberoende fält var att lägga till en term i den fria strömtätheten Jf, motsvarande förskjutningsströmmen ∂D/∂t. Med denna förskjutningsström närvarande i Ampères lag ∇ × H = Jf + ∂D/∂t satisfieras även kontinuitetsekvationen ∇ · J = −∂ρ/∂t.
Vi sammanfattar Maxwells ekvationer en gång för alla, och visar hur dessa kan omformuleras till två vågekvationer för de elektriska och magnetiska fälten.
Föreläsning 10 - Vågutbredning i homogena och isotropa dielektrika
Maxwells ekvationer och den elektromagnetiska vågekvationen sammanfattas och vi introducerar fyra tämligen allmänt giltiga approximationer:
-
Jf = 0 (inga fria strömmar),
-
ρ = 0 (inga fria laddningar),
-
P = ε0 (εr − 1)E (linjärt medium med homogent εr(x) = konstant), samt
-
M = 0 (försumbar magnetisering, µr ≈ 1).
Med dessa approximationer omformulerar vi vågekvationerna för det elektromagnetiska fältet i form av två identiska ekvationer, för det elektriska fältet E och det magnetiska fältet B respektive, vilka vidare direkt kan reduceras till en skalär vågekvation som (∂2/∂z2 − µ0ε0εr ∂2/∂t2)E(z, t) = 0. Utifrån denna form identifierar vi att ljushastigheten i vakuum c0 ges av c0−2 = µ0ε0 samt brytningsindex n = εr1/2, skalandes utbredningshastigheten för de elektromagnetiska vågorna som c = c0/n.
Med hjälp av d’Alemberts metod tar vi fram den generella lösningen för vågekvationen och visar på hur denna i en dimension har motpropagerande komponenter som alltid alltid uppfyller E(z, t) = f(z−ct) + g(z+ct).
För tidsharmoniska fält ansätter vi komplexvärda envelopper som E(x, t) = k Re[Ek exp(ik · x − iω(k)t)], med samma form för det magnetiska fältet, och visar på hur denna planvågsuppdelning leder till en ortogonal koppling mellan det elektriska och magnetiska fältet som Bk = k × Ek/ω.
Föreläsning 11 - Retarderade potentialer som lösningar till Maxwells ekvationer
Vi inleder med en rekapitulation av den generella formen på den elektromagnetiska vågekvationen för elektriska och magnetiska fält, följt av en analogi mellan potentialerna och mekaniska system. Utifrån definitionen av vektorpotentialen A som B = ∇ × A från identiteten ∇ · B = 0, så erhåller vi via Faradays lag att det elektriska fältet i elektrodynamiska problem måste innehålla även vektorpotentialen som E = −∇φ−∂A/∂t.
Vågekvationen för de elektrodynamiska potentialerna formuleras, följt av en genomgång av en viss form av godtycke som existerar i valet av potentialerna, under den så kallade gauge-transformen. Vi finner under antagande om Lorenz-villkoret (Lorenz gauge) att ekvationerna för potentialermna frikopplas från varandra. Formen för de retarderade potentialerna, där ett objekts verkan på avstånd analyseras, formuleras på integralform för den skalära potentialen och vektorpotentialen, och exemplifieras slutligen för en tunn dipolantenn.
Lecture 8 - The multipole expansion:
The scalar potential and static electric field from a linear electric
quadrupole, being the simplest construction with a quadrupole moment as
the first appearing term.
Lecture 8 - The multipole expansion: The scalar potential
and static electric field from a quadratic electric quadrupole.
Copyright (C) 2026, Fredrik Jonsson, under GPL 3.0.