lecture-11.tex

%
% File: teach/elmagii/lect-11/lecture-11.tex [plain TeX code]
% Github: https://github.com/elmagii/lect-11/
% Last change: December 15, 2025
%
% Lecture No 11 in the course ``Elektromagnetism II, 1TE626 (2023)'',
% held December 1, 2025, at Uppsala University, Sweden.
%
% Copyright (C) 2022-2025, Fredrik Jonsson, under Gnu General Public License
% (GPL) v3. See the enclosed LICENSE for details.
%
% This program is free software: you can redistribute it and/or modify
% it under the terms of the GNU General Public License as published by
% the Free Software Foundation, either version 3 of the License, or
% (at your option) any later version.
%
% This program is distributed in the hope that it will be useful,
% but WITHOUT ANY WARRANTY; without even the implied warranty of
% MERCHANTABILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE.  See the
% GNU General Public License for more details.
%
% You should have received a copy of the GNU General Public License
% along with this program.  If not, see <https://www.gnu.org/licenses/>.
%
\def\coursename{Elektromagnetism II}
\def\coursecode{1TE626}
\def\courseyear{2025}
\def\courserepo{https://github.com/hp35/elmagii/}
\def\lecturenumber{11}
\def\lecturetitle{Retarderade potentialer som l{\"o}sningar till Maxwells ekvationer}
\def\lecturetitlesub{}
\def\lectureauthor{Fredrik Jonsson}
\def\lectureplace{Uppsala Universitet}
\def\lecturedate{1 december 2025}
%-------------------- BEGIN OF LOCAL MACROS --------------------
\input macros/epsf.tex
\input macros/eplain.tex
\input amssym % to get the {\Bbb E} font (strikethrough E)
\font\ninerm=cmr9
\font\tenssbx=cmssbx10
\font\twelvesc=cmcsc10 at 12 truept
\newif\ifcolors % creates \ifcolors, \colorstrue, \colorsfalse
\colorstrue     % \colorstrue turns colors on, \colorsfalse turns them off
\ifcolors\input color\fi  % to get colored text output
\def\red#1{\ifcolors{\color{red}#1}\else#1\fi\ignorespaces}
\def\ifempty#1{\ifx\relax#1\relax}
\def\initlecture{
  \hsize=150mm\hoffset=4.6mm\vsize=230mm\voffset=7mm
  \topskip=0pt\baselineskip=12pt\parskip=0pt\leftskip=0pt\parindent=15pt
  \ifcolors
    \voffset=-10.2mm\topskip=0pt
  \fi
  \headline={\ifnum\pageno>1\ifodd\pageno\rightheadline\else\leftheadline\fi
    \else\hfill\fi}
  \def\rightheadline{\tenrm{\it F\"orel\"asning \lecturenumber}
    \hfil{\it \coursename, \coursecode\ (\courseyear)}}
  \def\leftheadline{\tenrm{\it \coursename, \coursecode\ (\courseyear)}
    \hfil{\it F\"orel\"asning \lecturenumber}}
  \noindent~\vskip-60pt\hskip-40pt{\epsfbox{macros/UU_logo_color.eps}}
  \vskip-42pt\hfill\vbox{
      \hbox{{\it \coursename, \coursecode\ (\courseyear)}}
      \hbox{{\it Lecture Notes, \lectureauthor}}
      \hbox{{\it Document Revision \today}}
      \hbox{{\it \courserepo}}}\vskip 36pt
  \centerline{\twelvesc F\"orel\"asning \lecturenumber}
  \vskip 24pt\noindent
  \centerline{\twelvesc\lecturetitle}
  \expandafter\ifempty\expandafter{\lecturetitlesub}%
    \else\centerline{\twelvesc\lecturetitlesub}\fi
  \bigskip
  \centerline{\lectureauthor, \lectureplace, \lecturedate}
  \vskip24pt}
\def\section #1 {\medskip\goodbreak\noindent{\tenssbx #1}
  \par\nobreak\smallskip\noindent}
\def\subsection #1 {\medskip\goodbreak\noindent{\it #1}
  \par\nobreak\smallskip\noindent}
\def\iint{\mathop{\int\kern-8pt\int}}
\def\iiint{\mathop{\int\kern-8pt\int\kern-8pt\int}}
\def\oiint{\mathop{\int\kern-8pt\int\kern-13.2pt{\bigcirc}}}
\def\sgn{\mathop{\rm sgn}\nolimits} % sign
\def\Re{\mathop{\rm Re}\nolimits}   % real part
\def\Im{\mathop{\rm Im}\nolimits}   % imaginary part
\def\Tr{\mathop{\rm Tr}\nolimits}   % quantum mechanical trace
\def\eqq{\mathop{\vbox{\hbox{\hskip2pt?}\vskip-6pt\hbox{=}}}}
\def\quote#1{\par\leftskip=36pt\rightskip=36pt\smallskip\noindent#1\par
  \leftskip=0pt\rightskip=0pt\smallskip}
\long\def\plan#1{\par\leftskip=36pt\rightskip=36pt\bigskip
  \noindent{\it Sammanfattning}\smallskip
  \noindent{\it #1}\par\leftskip=0pt\rightskip=0pt}
\def\threepointsummary#1#2#3{\par\leftskip=36pt\rightskip=36pt\bigskip
  \noindent{\it Tre h{\aa}llpunkter i f{\"o}rel{\"a}sningen}\smallskip
  \leftskip=48pt\rightskip=36pt\hangindent=20pt
  \noindent{\it\hbox to 20pt{1. }#1}\smallskip
  \leftskip=48pt\rightskip=36pt\hangindent=20pt
  \noindent{\it\hbox to 20pt{2. }#2}\smallskip
  \leftskip=48pt\rightskip=36pt\hangindent=20pt
  \noindent{\it\hbox to 20pt{3. }#3}\par
  \leftskip=0pt\rightskip=0pt\vfill\eject}
\def\epsfig#1{\bigskip\centerline{\epsfbox{#1}}\medskip}
\def\captionwide{\advance\leftskip by 60pt
  \advance\rightskip by 60pt}
\newdimen\itemindent \itemindent=18pt
\newdimen\hangitemindent \hangitemindent=38pt
\def\litem[#1]{\smallbreak\noindent%
  \hbox to\itemindent{\hfil}\hbox to\itemindent{#1\hfill}%
  \hangindent\hangitemindent\ignorespaces}
\newif\ifshowindex
\showindextrue  % Use \showindextrue and \showindexfalse to enable/disable index
\def\index{\ifshowindex\vfill\eject\section{Index} \readindexfile{i}\fi}
%--------------------- END OF LOCAL MACROS ---------------------

\initlecture

\plan{Vi inleder med en rekapitulation av den generella formen p{\aa} den
  elektromagnetiska v{\aa}gekvationen f{\"o}r elektriska och magnetiska
  f{\"a}lt, f{\"o}ljt av en analogi mellan potentialerna och mekaniska system.
  Utifr{\aa}n definitionen av vektorpotentialen ${\bf A}$ som
  ${\bf B}=\nabla\times{\bf A}$ fr{\aa}n identiteten $\nabla\cdot{\bf B}=0$,
  s{\aa} erh{\aa}ller vi via Faradays lag att det elektriska f{\"a}ltet i
  elektrodynamiska problem m{\aa}ste inneh{\aa}lla {\"a}ven vektorpotentialen
  som ${\bf E}=-\nabla\phi-{{\partial{\bf A}}/{\partial t}}$.

  V{\aa}gekvationen f{\"o}r de elektrodynamiska potentialerna formuleras,
  f{\"o}ljt av en genomg{\aa}ng av en viss form av godtycke som existerar
  i valet av potentialerna, under den s{\aa} kallade gauge-transformen.
  Vi finner under antagande om Lorenz-villkoret (Lorenz gauge) att
  ekvationerna f{\"o}r potentialermna frikopplas fr{\aa}n varandra.
  Formen f{\"o}r de retarderade potentialerna, d{\"a}r ett objekts verkan
  p{\aa} avst{\aa}nd analyseras, formuleras p{\aa} integralform f{\"o}r
  den skal{\"a}ra potentialen och vektorpotentialen, och exemplifieras
  slutligen f{\"o}r en tunn dipolantenn.}

\threepointsummary{%
  Den elektrodynamiska formen f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen $\phi$ och
  vektorpotentialen ${\bf A}$ lyder
  $$
    {\bf E}({\bf x},t)
      =-\nabla\phi({\bf x},t)-{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}},
      \qquad
    {\bf B}({\bf x},t)
      =\nabla\times{\bf A}({\bf x},t),
  $$
  f{\"o}r vilka de s{\aa} kallade gauge-transformationen av potentialerna,
  $$
    {\bf A}'({\bf x},t)={\bf A}({\bf x},t)+\nabla\psi({\bf x},t),\qquad
    \phi'({\bf x},t)=\phi({\bf x},t)
      -{{\partial\psi({\bf x},t)}\over{\partial t}},
  $$
  l{\"a}mnar de elektromagnetiska f{\"a}lten of{\"o}r{\"a}ndrade. Vi kan
  med dessa till viss del v{\"a}lja vilken form av v{\aa}gekvation vi
  {\"o}nskar f{\"o}r potentialerna.
  \sidx{Skal{\"a}r potential $\phi$}[Elektrodynamisk]
  \sidx{Vektorpotential ${\bf A}$}[Elektrodynamisk]
}{%
  Specifikt erh{\aa}ller vi under Lorenz-villkoret, eller ``Lorenz gauge'',
  d{\"a}r
  $$
    \nabla\cdot{\bf A}'({\bf x},t)+
      {{1}\over{c^2}}
      {{\partial\phi'({\bf x},t)}\over{\partial t}} = 0.
  $$
  att v{\aa}gekvationerna f{\"o}r potentialerna frikopplas fr{\aa}n varandra,
  till att lyda\sidx{Lorenz-villkoret}
  \sidx{Lorenz-villkoret}[{{\it Lorenz gauge}}]
  $$
     \Big(
       \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}
     \Big)\phi({\bf x},t)
        =-{{\rho({\bf x},t)}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}},\quad
     \Big(
       \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}
     \Big){\bf A}({\bf x},t)
        =-\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t).
  $$
}{%
  Retarderade potentialer i den retarderade tiden $t'=t-|{\bf x}-{\bf x}'|/c$
  ges som volymintegralerna
  \sidx{Retarderad potential}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jd potential]
  $$
    \phi({\bf x},t)={{1}\over{4\pi\varepsilon_0}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
      {{\rho({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',\qquad
    {\bf A}({\bf x},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
      {{{\bf J}({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV'.
  $$
}
%----------------------- END OF PREAMBLE -----------------------

\section{Elektrodynamiska f{\"a}lt och retarderade potentialer}
Vi har i tidigare f{\"o}rel{\"a}sningar kommit in p{\aa} hur Maxwells
ekvationer kan omformuleras till tv{\aa} v{\aa}gekvationer f{\"o}r den
elektriska f{\"a}ltstyrkan ${\bf E}$ och den magnetiska fl{\"o}dest{\"a}theten
${\bf B}$, med v{\"a}xel\-verkan mellan mediet och de elektromagnetiska
f{\"a}lten beskrivna av k{\"a}lltermer i h{\"o}gerledet enligt
\sidx{Elektromagnetisk v{\aa}gekvation}
$$
  \eqalign{
    \nabla\times\nabla\times{\bf E}
      +{{1}\over{c^2_0}}{{\partial^2{\bf E}}\over{\partial t^2}}&=
         -\mu_0{{\partial}\over{\partial t}}
          \underbrace{
             \bigg({\bf J}_{\rm f}
	        +{{\partial{\bf P}}\over{\partial t}}
	        +\nabla\times{\bf M}\bigg)}_{\hbox{gemensam k{\"a}llterm}},\cr
    \nabla\times\nabla\times{\bf B}
      +{{1}\over{c^2_0}}{{\partial^2{\bf B}}\over{\partial t^2}}&=
          \mu_0\nabla\times
          \underbrace{
	     \bigg({\bf J}_{\rm f}
	        +{{\partial{\bf P}}\over{\partial t}}
	        +\nabla\times{\bf M}\bigg)}_{\hbox{gemensam k{\"a}llterm}},\cr
  }
$$
\sidx{Str{\"o}mt{\"a}thet}[Fria laddningar, ${\bf J}_{\rm f}$]
\sidx{Elektrisk polarisationsdensitet ${\bf P}$}
\sidx{Magnetisering ${\bf M}$}
\sidx{Elektrisk f{\"a}ltstyrka ${\bf E}$}
\sidx{Magnetisk fl{\"o}dest{\"a}thet ${\bf B}$}
\sidx{Elektromagnetisk v{\aa}gekvation}[Gemensam k{\"a}llterm]
d{\"a}r ${\bf J}_{\rm f}$ {\"a}r den fria str{\"o}mt{\"a}theten, ${\bf P}$ den
elektriska polarisationsdensiteten och ${\bf M}$ magnetiseringen hos mediet.
Tidigare har vi anv{\"a}nt den skal{\"a}ra potentialen $\phi({\bf x})$ och
vektorpotentialen ${\bf A}({\bf x})$ i en {\it elektrostatisk} respektive
{\it magnetostatisk} analys. Specifikt har vi visat hur det statiska elektriska
f{\"a}ltet ${\bf E}$ och statiska magnetiska fl{\"o}dest{\"a}theten ${\bf B}$
direkt kan f{\aa}s fram ur dessa {\it statiska} potentialer som
${\bf E}=-\nabla\phi$ och ${\bf B}=\nabla\times{\bf A}$, och hur vi p{\aa}
ett strukturerat s{\"a}tt kan f{\aa} fram de {\it statiska} potentialerna genom
relativt enkla integraler ({\"o}ver volymer, ytor eller linjer).

Fr{\aa}gan infinner sig d{\aa} naturligtvis om det finns tidsberoende
motsvarigheter till dessa potentialer som kan appliceras p{\aa} {\it dynamiska}
(tidsberoende) elektromagnetiska f{\"a}lt? Vidare, finns det d{\aa} dessutom
m{\"o}jlighet att formulera en potentialteori d{\"a}r man tar h{\"a}nsyn till
den f{\"o}rdr{\"o}jning som onekligen m{\aa}ste ske fr{\aa}n det att en laddning
eller str{\"o}m manifesteras {\it lokalt vid en k{\"a}llpunkt} till dess att vi
verkligen observerar dess effekt vid en observationspunkt?
I s{\aa} fall skulle vi kunna g{\aa} via dessa potentialer och ur dessa extrahera
de tidsvarierande elektriska och magnetiska f{\"a}lten p{\aa} ett strikt
s{\"a}tt, inkluderande s{\aa}v{\"a}l dynamiken som tidsf{\"o}rdr{\"o}jningen
fr{\aa}n olika delar av k{\"a}llan eller k{\"a}llorna.

Svaret {\"a}r att det finns s{\aa}dana potentialer, s{\aa} kallade
{\it retarderade potentialer}, \sidx{Retarderad potential}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jd
potential] vilkas existens kan h{\"a}rledas fram (n{\"a}stan) analogt med det
elektrostatiska fallet.
\vfill\eject

\section{Recap p{\aa} vad skal{\"a}ra potentialen och vektorpotentialen
         {\"a}r bra f{\"o}r}
\sidx{Skal{\"a}r potential $\phi$}[Analogi med gravitation]
I en analogi med klassisk mekanik kan vi betrakta en punktmassa i ett
gravitationsf{\"a}lt ${\bf G}$ med gravitationskonstanten $g$ (N/kg).
Partikeln startar med en horisontell hastighet $v_0$ vid h{\"o}jden $z=h$
och f{\"a}rdas nedf{\"o}r en backe beskriven av funktionen $z=f(x)$.
En typisk uppgift skulle h{\"a}r kunna vara att r{\"a}kna ut sluthastigheten
$v$ vid $z=0$.

\epsfig{figs/analogi.1}\noindent
Vi kan naturligtvis rent principiellt st{\"a}lla upp r{\"o}relseekvationerna
f{\"o}r denna massa, g{\"o}ra vissa antaganden om huruvida hastigheten {\"a}r
l{\aa}g nog f{\"o}r att vi ej skall f{\aa} lyft fr{\aa}n underlaget med mera,
och d{\"a}refter integrera r{\"o}relseekvationerna fram till ett resultat, men
alla f{\"o}rst{\aa}r nog att en betydligt enklare approach (om vi inte s{\"o}ker
funktionen som beskriver hastigheten som funktion av tid) helt enkelt {\"a}r
att ist{\"a}llet konstatera att partikeln tappar i {\it potential}. Denna
f{\"o}rlust i potential kan via partikelns massa $m$ enkelt {\"o}vers{\"a}ttas
till en f{\"o}rlust i {\it potentiell energi}, vilken ist{\"a}llet adderas till
den {\it kinetiska energin}.

Ett annat syns{\"a}tt {\"a}r att se partikeln som att den befinner sig i en
skal{\"a}r mekanisk potential $\phi(z)=gz$, resulterande i ett
{\it gravitationsf{\"a}lt}
$$
  {\bf G}=-\nabla\phi(z)=-{\bf e}_z g,
  \qquad\Bigg(\quad\Leftrightarrow\qquad
  {\bf E}=-\nabla\phi(z)
  \quad\Bigg)
$$
i analogi med ett statiskt elektriskt f{\"a}lt ${\bf E}$. Kraften (N) p{\aa}
punktmassan $m$ (i analogi med kraften ${\bf F}=q{\bf E}$ p{\aa} en
punkt\-laddning $q$ i ett elektrostatiskt f{\"a}lt) blir
\sidx{Elektrostatiskt f{\"a}lt}[Analogi med gravitationsf{\"a}lt]
$$
  {\bf F}=m{\bf G}.
  \qquad\Bigg(\quad\Leftrightarrow\qquad
  {\bf F}=q{\bf E}
  \quad\Bigg)
$$
Om vi utg{\aa}r ifr{\aa}n planet $z=0$ som referens, s{\aa} blir den
potentiella {\it energin} (J) f{\"o}r partikeln p{\aa} h{\"o}jden $z$
d{\"a}rmed
\sidx{Potentiell energi}[Elektrostatisk]
$$
  W = -\int^z_{z=0}{\bf F}\cdot d{\bf x} = mgz
  \qquad\Bigg(\quad\Leftrightarrow\qquad
  W = -\int_{\Gamma}{\bf F}\cdot d{\bf x}
    = -q\int_{\Gamma}{\bf E}\cdot d{\bf x}
  \quad\Bigg)
$$
Denna aningen naivistiska analogi illustrerar hur vi rent elektrostatiskt,
f{\"o}r {\it statiska} elektriska laddningar, kan se p{\aa} den skal{\"a}ra
potentialen $\phi$ och hur vi kan anv{\"a}nda den i elektrostatiska problem
genom att vi kan extrahera det elektriska f{\"a}ltet genom
${\bf E}=-\nabla\phi$. Inom magnetism, som i grund och botten handlar om
laddningars {\it dynamik} (r{\"o}relse), har vi ist{\"a}llet vektorpotentialen
${\bf A}$, fr{\aa}n vilken vi ist{\"a}llet f{\aa}r den magnetiska
fl{\"o}dest{\"a}theten som ${\bf B}=\nabla\times{\bf A}$.
\vfill\eject

\section{Konservativa kontra icke-konservativa f{\"a}lt}
\sidx{Skal{\"a}r potential $\phi$}[Konservativa f{\"a}lt]
\sidx{Vektorpotential ${\bf A}$}[Icke-konservativa f{\"a}lt]
Vi ser hur begreppet potential {\"a}r synnerligen anv{\"a}ndbart i s{\aa} kallade {\it konservativa f{\"a}lt}, som exempelvis gravitation och elektrostatik. L{\aa}t oss med en handfull enkla fr{\aa}gor reda ut n{\aa}gra begrepp som kan vara aningen f{\"o}rvirrande i sammanhanget.

\subsection{Fr{\aa}ga 1: Vad {\"a}r ett konservativt f{\"a}lt?}
\sidx{Konservativt f{\"a}lt}
Ett {\it konservativt f{\"a}lt}\numberedfootnote{Eller om vi skall vara petnoga,
  {\it konservativt vektorf{\"a}lt}.}
{\"a}r ett f{\"a}lt d{\"a}r arbetet mellan tv{\aa} punkter inte beror p{\aa} v{\"a}gen, bara p{\aa} start- och slutpunkt. Rent matematiskt {\"a}r arbetet
$$
  W=-\int^{{\bf x}_b}_{{\bf x}_a}{\bf F}\cdot d{\bf l}
$$
i ett konservativt f{\"a}lt detsamma oavsett vilken v{\"a}g vi v{\"a}ljer att ta mellan
${\bf x}_a$ och ${\bf x}_b$. Vi kan h{\"a}r typiskt f{\"o}rest{\"a}lla oss att ${\bf F}=m{\bf G}$ (som i gravitation) eller ${\bf F}=q{\bf E}$ (som i elektrostatik). Lite l{\"o}st kan vi s{\"a}ga att ``allt som str{\aa}lar ut fr{\aa}n en punktk{\"a}lla'' (typ elektriska f{\"a}ltlinjer fr{\aa}n en statisk laddning) kommer att beskriva ett konservativt f{\"a}lt.

\subsection{Fr{\aa}ga 2: Vad k{\"a}nnetecknar ett konservativt f{\"a}lt?}
Definitionen enligt ovan {\"a}r f{\"o}rvisso tillr{\"a}cklig, men rent praktiskt vore det bra om vi kunde k{\"a}nna igen ett konservativt f{\"a}lt utifr{\aa}n sin form. Det absolut enklaste n{\"o}dv{\"a}ndiga och tillr{\"a}ckliga villkoret f{\"o}r att ett f{\"a}lt skall vara konservativt {\"a}r att dess rotation {\"a}r noll, exempelvis som f{\"o}r s{\aa}v{\"a}l elektrostatiska f{\"a}lt ${\bf E}$ med $\nabla\times{\bf E}={\bf 0}$ som f{\"o}r gravitationsf{\"a}ltet ${\bf G}$ med $\nabla\times{\bf G}={\bf 0}$.
Vi kan erinra oss att detta i grunden ju var sj{\"a}lva {\it anledningen} att vi i F{\"o}rel{\"a}sning~2 kunde utnyttja vektorteoremet $\nabla\times(\nabla f)={\bf 0}$ till att dra slutsatsen om existens av en skal{\"a}r potential\numberedfootnote{Rekapitulera att vi v{\"a}ljer att {\it definiera} denna potential med negativt tecken s{\aa} att vi f{\aa}r den elektrostatiska kraften ${\bf F}=q{\bf E}$ i samma riktning som f{\"a}ltet ${\bf E}$ f{\"o}r positiva laddningar $q$.} ${\bf E}=-\nabla\phi$.

\subsection{Fr{\aa}ga 3: Vad {\"a}r ett icke-konservativt f{\"a}lt?}
\sidx{Icke-konservativt f{\"a}lt}

\subsection{Fr{\aa}ga 4: Vad k{\"a}nnetecknar ett icke-konservativt f{\"a}lt?}


\subsection{Fr{\aa}ga 5: {\"A}r ett elektrostatiskt f{\"a}lt alltid konservativt?}

\subsection{Fr{\aa}ga 6: {\"A}r ett magnetostatiskt f{\"a}lt alltid konservativt?}

\subsection{Fr{\aa}ga 7: {\"A}r ett elektrodynamiskt f{\"a}lt alltid konservativt?}


\section{Finns det absoluta m{\aa}tt p{\aa} en potential?}
\sidx{Skal{\"a}r potential $\phi$}[Absolut m{\aa}tt f{\"o}r]
\sidx{Vektorpotential ${\bf A}$}[Absolut m{\aa}tt f{\"o}r]


\section{Retarderade potentialer och kopplingen till elektromagnetiska f{\"a}lt}
\sidx{Retarderad potential}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jd potential]
Gauss lag f{\"o}r magnetiska fl{\"o}dest{\"a}theten ${\bf B}({\bf x},t)$
g{\"a}ller alltid generellt, och ger direkt vid hand att {\"a}ven en
{\it tidsberoende} vektorpotential ${\bf A}({\bf x},t)$ har exakt samma l{\"a}nk
till ${\bf B}({\bf x},t)$ som tidigare, eftersom vi vid godtycklig
observationspunkt ${\bf x}$ och godtycklig tid $t$ har
att\numberedfootnote{V{\"a}n av ordning kan h{\"a}r fr{\aa}ga sig hur vi
  verkligen kan s{\"a}ga att $\nabla\cdot{\bf B}=0$ {\"a}ven f{\"o}r
  {\it dynamiska} f{\"a}lt. Trots allt s{\aa} h{\"a}rledde vi ju detta
  i F{\"o}rel{\"a}sning~4 utifr{\aa}n en {\it statisk} form av Biot--Savarts
  lag, och att bara s{\"a}ga att detta {\"a}ven g{\"a}ller {\it dynamiskt}
  {\"a}r ju lite fusk, eller hur? Det enklaste s{\"a}ttet att visa p{\aa}
  att $\nabla\cdot{\bf B}=0$ {\"a}ven i ett dynamiskt fall {\"a}r att
  konstatera att Faradays lag (som ju {\"a}r dynamisk och generellt giltig)
  ger vid hand att
  $$
    \nabla\times{\bf E}=-{{\partial{\bf B}}\over{\partial t}}
    \quad\Rightarrow\quad
    \underbrace{
      \nabla\cdot(\nabla\times{\bf E})
    }_{\nabla\cdot(\nabla\times{\bf a})\equiv0}
    =-\nabla\cdot\Big({{\partial{\bf B}}\over{\partial t}}\Big)
    =-{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot{\bf B}
    =0.
  $$
  Om vi integrerar den sista likheten med avseende p{\aa} tid, s{\aa} betyder
  detta kort och gott att $\nabla\cdot{\bf B}=\hbox{konstant}$ i tiden.
  Oberoende av vilken tid vid vilken vi startar denna identitet, s{\aa}
  m{\aa}ste d{\"a}rmed $\nabla\cdot{\bf B}$ evaluera till samma konstant,
  specifikt {\"a}ven d{\aa} vi passerar eller startar fr{\aa}n n{\aa}gon
  tid d{\aa} vi r{\aa}kar ha en {\it statisk} situation d{\aa} uppenbarligen
  $\nabla\cdot{\bf B}=0$. Med andra ord {\"a}r enda m{\"o}jligheten att
  integrationskonstanten i fr{\aa}ga {\"a}r noll, och att det {\"a}ven
  {\it dynamiskt} g{\"a}ller att $\nabla\cdot{\bf B}=0$.
  (Ut{\"o}ver att det vore synnerligen m{\"a}rklig fysik om magnetiska
  monopoler, om de skulle existera, skulle b{\"o}rja upptr{\"a}da enbart
  i dynamiska experiment.)\sidx{Magnetiska monopoler}[Icke-existens av]}
$$
  \nabla\cdot{\bf B}({\bf x},t)=0
  \qquad\Leftrightarrow\qquad
  {\bf B}({\bf x},t)=\nabla\times{\bf A}({\bf x},t).
$$
Om vi s{\"a}tter in vektorpotentialen ${\bf A}({\bf x},t)$ i Faradays
induktionslag,\numberedfootnote{Notera hur Faradays lag, som vi erinrar
  oss h{\"a}rleddes ``rent'' i F{\"o}rel{\"a}sning~5 {\it enbart
  utifr{\aa}n antagandet om Lorentz-kraften}, {\aa}terigen kommer
  till assistans!}
s{\aa} erh{\aa}ller vi
$$
  \nabla\times{\bf E}({\bf x},t)=
    -{{\partial}\over{\partial t}}
       \underbrace{\nabla\times{\bf A}({\bf x},t)}_{={\bf B}({\bf x},t)}
  \qquad\Leftrightarrow\qquad
  \nabla\times\underbrace{
      \bigg({\bf E}({\bf x},t)
        +{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}
      \bigg)
    }_{=-\nabla\phi({\bf x},t)}=0.
$$
Eftersom rotationen av argumentet {\"a}r noll,\numberedfootnote{Se Griffiths
  sammanfattade vektoridentiteter p{\aa} insidan av p{\"a}rmen,
  $\nabla\times(\nabla f)=0$.}
s{\aa} betyder detta att argumentet kan skrivas som gradienten av en skal{\"a}r
potential, s{\"a}g som\sidx{Skal{\"a}r potential $\phi$}[Elektrodynamisk]
\sidx{Vektorpotential ${\bf A}$}[Elektrodynamisk]
$$
  {\bf E}({\bf x},t)
    +{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}
  =-\nabla\phi({\bf x},t)
  \qquad\Leftrightarrow\qquad
  {\bf E}({\bf x},t)
    =-\nabla\phi({\bf x},t)-{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}.
$$
Valet av negativt tecken f{\"o}r gradienten i potentialen kommer fr{\aa}n
v{\aa}r konvention f{\"o}r krafter p{\aa} laddningar i elektriska f{\"a}lt,
och att positiva laddningar str{\"a}var mot minsta potential.
F{\"o}r att f{\"o}rtydliga vad vi h{\"a}r gjort, s{\aa} har vi {\it endast}
anv{\"a}nt Gauss lag f{\"o}r magnetiska f{\"a}lt samt Faradays induktionslag,
f{\"o}r vilka paret $({\bf E}({\bf x},t),{\bf B}({\bf x},t))$ {\"a}r oberoende
av materialegenskaperna. Med andra ord {\"a}r existensen av den skal{\"a}ra
potentialen $\phi({\bf x},t)$ och vektorpotentialen ${\bf A}({\bf x},t)$
{\it oberoende av det medium i vilket de analyseras}, {\"a}ven i det
elektrodynamiska (tidsberoende) fallet.

Vi kan h{\"a}r ocks{\aa} notera att f{\"a}lten evalueras p{\aa} exakt samma
punkt spatialt som vi uttrycker potentialerna i, med andra ord s{\aa} har vi
{\"a}nnu inte inf{\"o}rt n{\aa}got ``retarderat'' eller ``f{\"o}rdr{\"o}jt''
i ekvationerna. Detta kommer dock att inkluderas h{\"a}rn{\"a}st.
\vfill\eject

\section{V{\aa}gekvationen f{\"o}r retarderade potentialer}
\sidx{Elektromagnetisk v{\aa}gekvation}[f{\"o}r retarderade potentialer]
\subsection{Plan f{\"o}r hur vi angriper problemet med tidsf{\"o}rdr{\"o}jning
  hos potentialer}
S{\aa} l{\aa}ngt i kursen har vi analyserat f{\"a}lt och deras kopplingar till
varandra och externa k{\"a}llor som laddningsf{\"o}rdelningar och
str{\"o}mt{\"a}theter som fenomen som sker {\it instantant utan n{\aa}gon
f{\"o}rdr{\"o}jning i tid}. I m{\aa}nga situationer kan vi dock inte
f{\"o}rsumma den f{\"o}rdr{\"o}jning som sker, exempelvis om vi r{\aa}kar ha
en tidsvarierande laddningsf{\"o}rdelning, s{\"a}g p{\aa} en antenn, d{\"a}r
de olika delarna f{\"o}rdelningen har ett s{\aa} pass varierande avst{\aa}nd
som inte kan r{\"a}knas som litet i f{\"o}rh{\aa}llande till
observa\-tions\-punkten.
Vi har i F{\"o}rel{\"a}sningarna~2 och~ sett hur de {\it statiska} potentialerna,
som lyder \idx{Poissons ekvation}
$$
  \nabla^2\phi({\bf x})=-\rho({\bf x})/\varepsilon_0,\qquad
  \nabla^2{\bf A}=-\mu_0{\bf J}_{\rm f},
$$
direkt leder till explicita l{\"o}sningar p{\aa} integralform som\sidx{Poissons
ekvation}[L{\"o}sningar p{\aa} integralform]
$$
  \phi({\bf x})={{1}\over{4\pi\varepsilon_0}}\iiint_V
    {{\rho({\bf x}')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',\qquad
  {\bf A}({\bf x})={{\mu_0}\over{4\pi}}\iiint_V
    {{{\bf J}_{\rm f}({\bf x}')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',
$$
vilket vi erinrar oss {\"a}r en direkt f{\"o}ljd fr{\aa}n formen p{\aa} det
elektriska f{\"a}ltet fr{\aa}n den generaliserade formen av Gauss lag f{\"o}r
statisk laddning, samt formen p{\aa} magnetf{\"a}ltet enligt \idx{Amp\`eres lag}
(vilken i sin tur {\"a}r h{\"a}rledd fr{\aa}n \idx{Biot--Savarts lag}).
Vi kan med t{\"a}mligen stor sannolikhet konstatera att potentialerna, liksom den
elektromagnetiska v{\aa}g de beskriver, f{\"a}rdas med ljusets hastighet $c=c_0$
\sidx{Ljushastighet}[I dielektrikum, $c$] \sidx{Ljushastighet}[I vakuum, $c_0$]
(eller $c=c_0/n$, skalat med brytningsindex $n$ \sidx{Brytningsindex $n$} om vi
betraktar icke-vakuum), och det {\"a}r rimligt att anta att varje delbidrag i
integralformerna ovan d{\"a}rmed kommer att detekteras en viss tid
$|{\bf x}-{\bf x}'|/c$ efter den tid $t$ d{\aa} k{\"a}llan hade det
tillst{\aa}nd (laddning eller str{\"o}m) som en observat{\"o}r observerar
en str{\"a}cka $|{\bf x}-{\bf x}'|$ bort.

Med andra ord s{\aa} faller det sig helt naturligt att {\it gissa} att en
generaliserad form av dessa integralformer, som tar h{\"a}nsyn till den tid
$|{\bf x}-{\bf x}'|/c$ som potentialerna vid k{\"a}llpunkterna ${\bf x}'$ tar
p{\aa} sig f{\"o}r att n{\aa} fram till en observat{\"o}r vid punkten ${\bf x}$
skulle ges som
$$
  \phi({\bf x},t)={{1}\over{4\pi\varepsilon_0}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
    {{\rho({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',\qquad
  {\bf A}({\bf x},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
    {{{\bf J}({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',
$$
d{\"a}r
$$
  t' = t - |{\bf x}-{\bf x}'|/c
$$
{\"a}r den {\it retarderade tiden}, eller {\it f{\"o}rdr{\"o}jda tiden}, som
beror av avst{\aa}ndet $|{\bf x}-{\bf x}'|$ mellan k{\"a}llpunkt ${\bf x}'$ och
observationspunkt ${\bf x}$.\sidx{Retarderad tid}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jning]

Detta argument {\"a}r dock {\"a}n s{\aa} l{\"a}nge av t{\"a}mligen handviftande
karakt{\"a}r, och vi har i strikt mening inte {\"a}nnu formulerat hur de
{\it dynamiska} potentialerna propagerar. Vi kan f{\"o}rvisso ha en kvalificerad
gissning att potentialerna, ur vilka de elektriska och magnetiska f{\"a}lten
direkt kan erh{\aa}llas, m{\aa}ste f{\"o}lja exakt samma hastighet som det
elektromagnetiska f{\"a}ltet i sig (det vill s{\"a}ga ljushastigheten i mediet),
men det finns n{\aa}gra viktiga po{\"a}nger som {\"a}r knutna till potentialerna
i sig som vi i sin tur kan utnyttja.

Kort och gott, vi kommer nu att f{\"o}rst analysera hur v{\aa}gekvationen
f{\"o}r potentialerna i sig ser ut, och d{\"a}refter f{\"o}lja upp resultatet
med att formulera integralformen f{\"o}r de retarderade
potentialerna.\numberedfootnote{Spoiler: Den alldeles nyss presenterade
  gissningen f{\"o}r de retarderade potentialernas integralform {\"a}r
  helt korrekt!}
\vfill\eject

\subsection{Den generella formen av v{\aa}gekvationen f{\"o}r vektorpotentialen}
Om vi substituerar f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen $\phi({\bf x},t)$ och
vektorpotentialen ${\bf A}({\bf x},t)$ i Gauss och Amp\`eres
lagar\numberedfootnote{Notera att Gauss och Amp\`eres lagar som involverar
    mediets egenskaper (eftersom vi h{\"a}r betraktar ${\bf E}$ och ${\bf B}$
    som v{\aa}ra elektrodynamiska ``basf{\"a}lt'') s{\aa} l{\aa}ngt ej {\"a}nnu
    anv{\"a}nts; detta {\"a}r punkten d{\aa} vi f{\"o}rst introducerar
    mediets egenskaper.}
s{\aa} f{\aa}r vi, under antagandet om en linj{\"a}r elektrisk
fl{\"o}dest{\"a}thet i homogent medium,
$$
  {\bf D}({\bf x},t)=\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}{\bf E}({\bf x},t),
$$
fr{\aa}n Gauss lag $\nabla\cdot{\bf D}({\bf x},t)=\rho({\bf x},t)$ f{\"o}r den
elektriska fl{\"o}dest{\"a}theten att\sidx{Gauss lag}[F{\"o}r elektrisk fl{\"o}dest{\"a}thet
${\bf D}$]
$$
  \nabla\cdot{\bf D}({\bf x},t)
    =-\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}\nabla\cdot
      \underbrace{
        \bigg(
          \nabla\phi({\bf x},t)+{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}
        \bigg)
      }_{\equiv-{\bf E}({\bf x},t)}
    =\rho({\bf x},t)
  \quad\Leftrightarrow\quad
    \nabla^2\phi({\bf x},t)
      +{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)
    =-{{\rho({\bf x},t)}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}}
$$
vilket vi {\aa}tminstone fr{\aa}n f{\"o}rekomsten av ``$\nabla^2$'' kan
b{\"o}rja gissa oss till kommer att handla om en v{\aa}gekvation.
Det som saknas h{\"a}r {\"a}r hur vi skall tolka tidsderivatan av
$\nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)$.

Fr{\aa}n \idx{Amp\`eres lag} i dess grundform (notera att detta {\"a}r punkten
d{\aa} vi i princip f{\"o}r in kopplingen med magnetiska egenskaper i problemet
via de konstitutiva relationerna \sidx{Konstitutiva relationer} f{\"o}r
${\bf H}$ och ${\bf D}$),
$$
  \nabla\times{\bf H}={\bf J}_{\rm f}+{{\partial{\bf D}}\over{\partial t}},
$$
f{\"o}r enkelhets skull under antagandet om ett ickemagnetiskt medium med
${\bf B}({\bf x},t)=\mu_0{\bf H}({\bf x},t)$, har vi samtidigt att
$$
  \eqalign{
    \nabla\times{\bf B}({\bf x},t)
      &=%\underbrace{
         \nabla\times
           \underbrace{
             \nabla\times{\bf A}({\bf x},t)
           }_{={\bf B}({\bf x},t)}
        %}_{=\nabla(\nabla\cdot{\bf A})-\nabla^2{\bf A}}
        \cr
     &=\nabla(\nabla\cdot{\bf A})-\nabla^2{\bf A}\cr
     &=\big\{\hbox{ Amp\`eres lag,
                    $\nabla\times{\bf B}=\mu_0\nabla\times{\bf H}$ }\big\}\cr
     &=\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t)
      +\mu_0{{\partial{\bf D}({\bf x},t)}\over{\partial t}}\cr
     &=\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t)
      +\underbrace{\mu_0\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}_{\equiv 1/c^2}
      {{\partial{\bf E}({\bf x},t)}\over{\partial t}}\cr
     &=\Big\{\ \hbox{Uttryck i vektorpotentialer,}
         \ {\bf E}=-\nabla\phi-{{\partial{\bf A}}\over{\partial t}}\ \Big\}\cr
     &=\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t)
      -{{1}\over{c^2}}
        {{\partial}\over{\partial t}}
        \bigg(
          \nabla\phi({\bf x},t)+{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}
        \bigg).\cr
  }
$$
Om vi stuvar om termerna lite, s{\aa} har vi under utnyttjandet av $\nabla
\times\nabla\times{\bf A}\equiv\nabla(\nabla\cdot{\bf A})-\nabla^2{\bf A}$
att\numberedfootnote{Recap fr{\aa}n F{\"o}rel{\"a}sning~10, d{\"a}r den
  homogena v{\aa}gekvationen i tre dimensioner (``d'Alemberts v{\aa}gekvation'')
  skrevs p{\aa} formen
  $$
    \Big(\nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}\Big)
      f({\bf x},t)=0.
  $$}
$$
  \underbrace{
  \bigg(
    \nabla^2-{{1}\over{c^2}}
      {{\partial^2}\over{\partial t^2}}
  \bigg)
  {\bf A}({\bf x},t)
  }_{\hbox{Typisk v{\aa}gekvation!}}
  -\underbrace{
    \nabla\bigg(
    \nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)+
    {{1}\over{c^2}}{{\partial\phi({\bf x},t)}\over{\partial t}}
  \bigg)}_{\hbox{Fr{\aa}ga: ``Hur bli av med denna?''}}
    =-\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t)
$$
\vfill\eject

\subsection{Den generella formen av v{\aa}gekvationen f{\"o}r skal{\"a}ra
  potentialen}
\sidx{Skal{\"a}r potential $\phi$}[V{\aa}gekvation f{\"o}r]
Embryot till en v{\aa}gekvation f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen $\phi$ kan
tas fram p{\aa} ett liknande s{\"a}tt, om {\"a}n betydligt enklare {\"a}n
f{\"o}r vektorpotentialen, genom att utveckla divergensen f{\"o}r den
{\it elektriska fl{\"o}dest{\"a}theten} ${\bf D}=\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}
{\bf E}$ under i {\"o}vrigt samma f{\"o}ruts{\"a}ttningar som f{\"o}r
vektorpotentialen, som
$$
  \nabla\cdot{\bf D}
    =\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}\nabla\cdot{\bf E}
    =\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}\nabla\cdot
        \Big(-\nabla\phi-{{\partial{\bf A}}\over{\partial t}}\Big)
    =\rho
  \qquad\Leftrightarrow\qquad
    \nabla^2\phi+{{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot{\bf A}
    =-{{\rho}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}}.
$$
Det som f{\"o}r vektorpotentialen tog ett antal rader i anspr{\aa}k f{\"o}r
h{\"a}rledning kunde f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen g{\"o}ras med en
{\it one-liner}, med ``$\nabla^2\phi$'' som {\aa}tminstone en bra b{\"o}rjan
p{\aa} en ``halv v{\aa}gekvation''.
Fr{\aa}gan h{\"a}r blir ist{\"a}llet hur termen $({{\partial}/{\partial t}})
\nabla\cdot{\bf A}$ skall tolkas.
Som vi strax kommer att se, s{\aa} kommer denna fr{\aa}ga att praktiskt taget
trivialt f{\aa} en l{\"o}sning s{\aa} snart som den mer trixiga termen f{\"o}r
vektorpotentialen eliminerats.

\subsection{Gauge-transformen}
\sidx{Gauge-transform}
Om vi skall sammanfatta detta halvv{\"a}gs, s{\aa} har vi i och med detta
reducerat Maxwells fyra ekvationer till tv{\aa}, en f{\"o}r den skal{\"a}ra
potentialen $\phi$ och en f{\"o}r vektorpotentialen ${\bf A}$, vilka dock
fortfarande {\"a}r kopplade. Att de fortfarande {\"a}r kopplade g{\"o}r det
sv{\aa}rt f{\"o}r oss att formulera hur dessa potentialer skall extraheras
fr{\aa}n k{\"a}nda variabler s{\aa} som laddningsf{\"o}rdelningar och
str{\"o}mt{\"a}theter.
Is{\"a}rkopplingen av dessa tv{\aa} ekvationer f{\"o}r potentialerna kan dock
utf{\"o}ras genom att utnyttja en viss grad av godtycklighet som fortfarande
finns inneboende i ekvationerna, som vi nu skall visa.

Vi noterar att eftersom vektorpotentialen ${\bf B}({\bf x},t)$ definieras
utifr{\aa}n rotationen av vektorpotentialen som\sidx{Vektorpotential ${\bf A}$}
$$
  {\bf B}({\bf x},t)=\nabla\times{\bf A}({\bf x},t),
$$
och eftersom vi alltid har vektoridentiteten $\nabla\times\nabla f\equiv 0$,
s{\aa} {\"a}r vektorpotentialen godtycklig i den bem{\"a}rkelsen att det
magnetiska f{\"a}ltet alltid l{\"a}mnas invariant d{\aa} vi adderar en
gradient av n{\aa}gon skal{\"a}r funktion, s{\"a}g $\psi({\bf x},t)$, till den,
$$
  {\bf A}({\bf x},t)
  \quad\to\quad
  {\bf A}'({\bf x},t)={\bf A}({\bf x},t)+\nabla\psi({\bf x},t),
$$
d{\"a}r $\psi({\bf x},t)$ {\"a}r en {\it godtycklig tv{\aa} g{\aa}nger
kontinuerligt differentierbar funktion i rum och tid},\numberedfootnote{En
  funktion {\"a}r tv{\aa} g{\aa}nger kontinuerligt differentierbar om den
  uppfyller att dess f{\"o}rsta- och andraderivator existerar, samt att
  b{\aa}de f{\"o}rsta- och andraderivatorna {\"a}r kontinuerliga.
  Fr{\aa}gan {\"a}r d{\aa} naturligtvis: Varf{\"o}r st{\"a}ller vi detta
  specifika krav p{\aa} {\it gauge-funktionen} $\psi$?
  Det enkla svaret p{\aa} denna fr{\aa}ga {\"a}r att vi st{\"a}ller kravet
  att det elektromagnetiska f{\"a}ltet {\"a}r {\"o}verallt kontinuerligt
  d{\"a}r potentiall{\"o}sningarna tas fram, i omgivningar fria fr{\aa}n
  diskontinuiteter, och att detta f{\"a}lt utg{\"o}rs av f{\"o}rstaderivator
  av potentialerna.
  Om vi dessutom i fallet med vektorpotentialen ${\bf A}$ {\it adderar en
  gradient} $\nabla\psi$ dessutom kommer att st{\"a}lla kravet p{\aa} $\psi$
  att den {\"a}r just en tv{\aa} g{\aa}nger kontinuerligt differentierbar
  funktion.
  Detta enkla svar haltar dock en aning, speciellt d{\aa} detta inte
  f{\"o}rklarar varf{\"o}r $\psi$ dessutom m{\aa}ste vara tv{\aa} g{\aa}nger
  kontinuerligt differentierbar {\"a}ven i tid. Vi kommer strax att se ett
  b{\"a}ttre sk{\"a}l till varf{\"o}r vi kr{\"a}ver av $\psi$ att den {\"a}r
  tv{\aa} g{\aa}nger kontinuerligt differentierbar s{\aa}v{\"a}l i rum som
  i tid.}
beroende av rums-koordinater och tid. Med andra ord har vi full frihet att
addera en gradient av en l{\"a}mpligt vald skal{\"a}r funktion $\psi$ till
vektorpotentialen och {\it fortfarande ha exakt samma magnetiska f{\"a}lt
kopplat till denna}.
\vfill\eject

F{\"o}r att det {\it elektriska f{\"a}ltet} skall vara of{\"o}r{\"a}ndrat av
denna transformation, det vill s{\"a}ga att
$$
  {\bf E}({\bf x},t)
    =-\nabla\phi({\bf x},t)-{{\partial}\over{\partial t}}
        \big[
          \underbrace{
            {\bf A}'({\bf x},t)-\nabla\psi({\bf x},t)
          }_{={\bf A}({\bf x},t)}
        \big]
    =-\nabla\bigg(
          \underbrace{
            \phi({\bf x},t)
              -{{\partial\psi({\bf x},t)}\over{\partial t}}
          }_{=\phi'({\bf x},t)}
         \bigg)
    -{{\partial{\bf A}'({\bf x},t)}\over{\partial t}}
$$
skall f{\"o}rbli of{\"o}r{\"a}ndrad, s{\aa} {\"a}r kravet att den skal{\"a}ra
potentialen {\it samtidigt} transformeras som
$$
  \phi({\bf x},t)
  \quad\to\quad
  \phi'({\bf x},t)=\phi({\bf x},t)-{{\partial\psi({\bf x},t)}\over{\partial t}}.
$$
Sammanfattningsvis, s{\aa} har vi resultatet att den parvisa transformationen
$$
  \eqalign{
    {\bf A}'({\bf x},t)
      &={\bf A}({\bf x},t)+\nabla\psi({\bf x},t),\cr
    \phi'({\bf x},t)
      &=\phi({\bf x},t)-{{\partial\psi({\bf x},t)}\over{\partial t}},\cr
  }
$$\sidx{Gauge-transformation}
som kallas f{\"o}r {\it gauge-transformation} och anv{\"a}nds inte bara inom
klassisk elektrodynamik, utan {\"a}ven ofta inom kvantmekanik, l{\"a}mnar de
elektriska och magnetiska f{\"a}lten\numberedfootnote{Om man skall vara petig,
  den {\it elektriska f{\"a}ltstyrkan} respektive den {\it magnetiska
  fl{\"o}dest{\"a}theten}.}
of{\"o}r{\"a}ndrade,\numberedfootnote{Som en liten illustrativ verifiering av
  detta grundl{\"a}ggande resultat, s{\aa} {\"a}r allts{\aa}
  $$
    {\bf E}=-\nabla\phi'-{{\partial{\bf A}'}\over{\partial t}}
      =-\nabla\Big(\phi-{{\partial\psi}\over{\partial t}}\Big)
         -{{\partial}\over{\partial t}}\Big({\bf A}+\nabla\psi\Big)
      =-\nabla\phi-{{\partial{\bf A}}\over{\partial t}}.
$$}
$$
  \eqalign{
    {\bf E}({\bf x},t)
      &\equiv-\nabla\phi'({\bf x},t)
          -{{\partial{\bf A}'({\bf x},t)}\over{\partial t}},\qquad
          \bigg(\ =-\nabla\phi({\bf x},t)
             -{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}\ \bigg)\cr
    {\bf B}({\bf x},t)
      &\equiv\nabla\times{\bf A}'({\bf x},t).\hskip68.5pt
      \bigg(\ =\nabla\times{\bf A}({\bf x},t)\ \bigg)\cr
  }
$$
Vi kommer nu att utnyttja denna m{\"o}jlighet till {\it aktivt val} av
gaugefunktionen $\psi$ f{\"o}r att g{\"o}ra oss av med det som s{\aa} att
s{\"a}ga ``inte passar in'' i v{\aa}gekvationen f{\"o}r vektorpotentialen.
\vfill\eject

\subsection{Lorenz-villkoret (``Lorenz gauge'')}
\sidx{Lorenz-villkoret}[{{\it Lorenz gauge}}]
\sidx{Gauge-funktion $\psi$}
Om vi nu {\aa}terv{\"a}nder till grundproblemet med ekvationen f{\"o}r
vektorpotentialen ovan, s{\aa} kan vi se att vi med de {\it gauge-transformerade}
potentialerna $\phi'({\bf x},t)$ och ${\bf A}'({\bf x},t)$ har
att\numberedfootnote{Notera hur den slutliga termen som inneh{\aa}ller
  enbart gauge-funktionen $\psi$ {\"a}ven den har formen av {\"a}nnu en
  v{\aa}gfunktion! Man kan p{\aa} s{\"a}tt och vis se detta som en
  i tv{\aa} led inb{\"a}ddad v{\aa}gfunktion fr{\aa}n det elektromagnetiska
  f{\"a}ltet till potentialerna till gauge-funktionen $\psi$.}
$$
  \eqalign{
      \underbrace{
      \nabla\cdot{\bf A}'({\bf x},t)+
      {{1}\over{c^2}}{{\partial\phi'({\bf x},t)}\over{\partial t}}
      }_{\hbox{``Det vi f{\"o}rs{\"o}ker bli av med''}}
    &=\nabla\cdot\big({\bf A}({\bf x},t)+\nabla\psi({\bf x},t)\big)+
      {{1}\over{c^2}}{{\partial}\over{\partial t}}
      \bigg(
        \phi({\bf x},t)-{{\partial\psi({\bf x},t)}\over{\partial t}}
      \bigg)\cr
    &=\{\ \hbox{Stuva om termer}\ \}\cr
    &=\underbrace{
      \nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)
        +{{1}\over{c^2}}{{\partial\phi({\bf x},t)}\over{\partial t}}
      +\underbrace{
         \bigg(
           \nabla^2\psi({\bf x},t)
             -{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi({\bf x},t)}\over{\partial t^2}}
         \bigg)
       }_{\hbox{Frihet att v{\"a}lja $\psi$}}
      }_{\vbox{
          \hbox{Vi har frihet att v{\"a}lja $\psi$ s{\aa}}
          \hbox{att h{\"o}gerledet blir noll!}
          }}.\cr
  }
$$
Eftersom funktionen\numberedfootnote{Enheten f{\"o}r $\psi({\bf x},t)$ {\"a}r
  ${\rm V}\cdot{\rm s}$.}
$\psi({\bf x},t)$ {\"a}r {\it godtycklig} (och vi ser nu dessutom i formen ovan
varf{\"o}r vi kr{\"a}ver att funktionen {\"a}r just {\it tv{\aa}} g{\aa}nger
differentierbar b{\aa}de i rum och tid), s{\aa} inneb{\"a}r detta specifikt att
vi kan v{\"a}lja den s{\aa} att
$$
  \nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)
    +{{1}\over{c^2}}{{\partial\phi({\bf x},t)}\over{\partial t}}
   +\bigg(
      \nabla^2\psi({\bf x},t)
        -{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi({\bf x},t)}\over{\partial t^2}}
    \bigg)
    =0
$$
vilket i sin tur betyder att ``det vi f{\"o}rs{\"o}ker bli av med'' blir noll,
$$
  \nabla\cdot{\bf A}'({\bf x},t)+
    {{1}\over{c^2}}
    {{\partial\phi'({\bf x},t)}\over{\partial t}} = 0.
$$
Denna relation mellan vektorpotential och skal{\"a}r potential kallas
allm{\"a}nt {\it Lorenz-villkoret}, och inneb{\"a}r ut{\"o}ver att eliminera
``det vi f{\"o}rs{\"o}ker bli av med'' fr{\aa}n ekvationen f{\"o}r
vektorpotentialen {\"a}ven att ekvationen f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen
under Lorenz-villkoret frikopplas fr{\aa}n vektorpotentialen, d{\aa}
$$
  \nabla\cdot{\bf A}'=-{{1}\over{c^2}}{{\partial\phi'}\over{\partial t}}
  \quad\Rightarrow\quad
  \nabla^2\phi'+
    {{\partial}\over{\partial t}}\nabla\cdot{\bf A}'
  =\nabla^2\phi'-
      {{1}\over{c^2}}{{\partial^2\phi'}\over{\partial t^2}}
    =-{{\rho}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}}.
$$
Den frihet som gauge-transformen av den skal{\"a}ra potentialen och
vektorpotentialen bist{\aa}r med inneb{\"a}r allts{\aa} att vi specifikt har
{\it friheten att v{\"a}lja potentialer $\phi({\bf x},t)$ och
${\bf A}({\bf x},t)$ s{\aa} att ekvationerna f{\"o}r dem frikopplas},
resulterande i tv{\aa} inhomogena partiella differentialekvationer
$$
  \eqalign{
    \nabla^2\phi({\bf x},t)-{{1}\over{c^2}}
      {{\partial^2\phi({\bf x},t)}\over{\partial t^2}}
      &=-{{\rho({\bf x},t)}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}},\cr
    \nabla^2{\bf A}({\bf x},t)-{{1}\over{c^2}}
      {{\partial^2{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t^2}}
      &=-\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t),\cr
  }
$$
d{\"a}r vi tog oss friheten att ``droppa primmen'' p{\aa} $\phi'$ och ${\bf A}'$.
Det {\"a}r forts{\"a}ttningsvis underf{\"o}rst{\aa}tt att v{\aa}gekvationerna
f{\"o}r potentialerna $\phi$ och ${\bf A}$ i sig inneb{\"a}r att vi redan
best{\"a}mt oss f{\"o}r en viss {\it gauge} och att detta {\"a}r inkluderat i
variablerna, vilket vi erinrar oss i alla h{\"a}ndelser ej kommer att
p{\aa}verka l{\"o}sningarna f{\"o}r det elektromagnetiska f{\"a}ltet.

\subsection{Tre viktiga observationer}
Fr{\aa}n dessa tv{\aa} {\it v{\aa}gekvationer} ser vi direkt tv{\aa} saker:
\medskip
\litem[1.]{Potentialerna propagerar enligt dessa v{\aa}gekvationer med
    {\it ljusets hastighet}\numberedfootnote{Vi erinrar
      oss att $c=c_0/n$ {\"a}r ljushastigheten i mediet med brytningsindex
      $n=\sqrt{\varepsilon_{\rm r}}$, och d{\"a}rmed inte begr{\"a}nsar
      slutsatsen om potentialernas utbredningshastighet till vakuum.}
    $c$.}
\litem[2.]{L{\"o}sningarna till v{\aa}gekvationerna f{\"o}r potentialerna
    kan f{\aa}s fram exakt p{\aa} analogt s{\"a}tt som f{\"o}r det
    elektrostatiska fallet, s{\aa} l{\"a}nge som vi {\"a}r noga med att ta
    i beaktande {\it tidsf{\"o}r\-dr{\"o}j\-ningen
    $\Delta t=|{\bf x}-{\bf x}'|/c$ fr{\aa}n k{\"a}lla till
    observationspunkt}, resulterande i s{\aa} kallade {\it retarderade
    potentialer}.\sidx{Retarderad potential}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jd potential]}
\litem[3.]{I fall d{\aa} vi har att g{\"o}ra med tidsoberoende, statiska
    problem s{\aa} f{\"o}rsvinner sj{\"a}lvfallet tidsderivatorna och vi
    erh{\aa}ller {\it exakt samma form} p{\aa} Poissons ekvationer f{\"o}r
    den {\it elektro\-statiska} skal{\"a}ra potentialen (som vi behandlade
    under F{\"o}rel{\"a}sning~2 och~3) och den {\it magneto\-statiska}
    vektorpotentialen (som vi behandlade under F{\"o}rel{\"a}sning~4),
    $$
      \eqalign{
        \nabla^2\phi({\bf x},t)
          &=-{{\rho({\bf x},t)}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}},\cr
        \nabla^2{\bf A}({\bf x},t)
          &=-\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t).\cr
      }
    $$
    Notera att ljushastigheten $c$ i och med denna {\aa}terg{\aa}ng,
    fr{\aa}n {\it dynamik} till {\it statik}, automagiskt f{\"o}rsvinner
    fr{\aa}n ekvationerna!}
\medskip
\noindent
Det b{\"o}r h{\"a}r understrykas att {\it utbredningshastigheten f{\"o}r potentialerna {\"a}r beroende av vilken gauge vi v{\"a}ljer att behandla dem i}, och att vi i Coulomb-gauge ist{\"a}llet betraktar potentialerna som instantana (samtidiga) {\"o}verallt!

Den som t{\"a}nker n{\aa}gorlunda kritiskt b{\"o}r h{\"a}r st{\"a}lla sig fr{\aa}gan: Hur i hela friden h{\"a}nger detta ihop? Vi kan v{\"a}l inte godtyckligt, bara s{\aa}d{\"a}r, v{\"a}lja utbredningshastigheten f{\"o}r elektromagnetiska f{\"a}lt genom att v{\"a}lja n{\aa}gon l{\"a}mplig gauge-funktion $\psi$? En matematisk konstruktion kan ju inte g{\"o}ra v{\aa}ld p{\aa} fysiken i sig!

Gaugeteori {\"a}r onekligen ett av de mer sv{\aa}rgreppbara koncepten inom elektrodynamik s{\aa} snart vi b{\"o}rjar granska fundamenta f{\"o}r det elektromagnetiska f{\"a}ltet. Som 




\section{[{\"O}verkurs] Gauge-transformen: Lorenz och Coulomb gauge}
\subsection{Lorenz gauge}
\sidx{Lorenz-villkoret}[{{\it Lorenz gauge}}]
Gauge-transformationen ovan, vilken s{\"a}gs fixera potentialerna i den s{\aa}
kallade {\it Lorenz gauge},\numberedfootnote{Om Lorenz gauge (Wikipedia):
    ``It is unique among the constraint gauges in retaining manifest Lorentz
    invariance. Note, however, that this gauge was originally named after the
    Danish physicist Ludvig Lorenz and not after Hendrik Lorentz; it is often
    misspelled ``Lorentz gauge''. (Neither was the first to use it in
    calculations; it was introduced in 1888 by George F.~FitzGerald.)''}
s{\"a}ger egentligen bara att s{\aa} l{\"a}nge som vi utnyttjar valfriheten att
v{\"a}lja den (tv{\aa} g{\aa}nger differentierbara i rum och tid) funktionen
$\psi({\bf x},t)$ s{\aa} att den uppfyller
$$
  \nabla^2\psi({\bf x},t)
    -{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi({\bf x},t)}\over{\partial t^2}}
  =-\bigg(
      \nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)
        +{{1}\over{c^2}}{{\partial\phi({\bf x},t)}\over{\partial t}}
     \bigg),
$$
s{\aa} kommer ekvationerna f{\"o}r $\phi({\bf x},t)$ och ${\bf A}({\bf x},t)$
att frikopplas till tv{\aa} (i allm{\"a}nhet inhomogena) v{\aa}gekvationer.
Lorenz-villkoret {\"a}r vanligast f{\"o}rekommande n{\"a}r man arbetar med
retarderade potentialer, eftersom vi d{\aa} f{\aa}r frikopplade ekvationer
f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen och
vektorpotentialen.\numberedfootnote{F{\"o}r en intressant utl{\"a}ggning kring
  historiken och utvecklingen av teorin bakom gauge-trans\-forma\-tionen,
  inklusive den felaktiga termen {\it Lorentz gauge} (ist{\"a}llet f{\"o}r
  det korrekta {\it Lorenz gauge}), se till exempel J.~D. Jackson,
  {\it Historical roots of gauge invariance}, Rev. Mod. Phys. {\bf 73},
  663 (2001);
  {\tt https://journals.aps.org/rmp/abstract/10.1103/RevModPhys.73.663}.}

\subsection{Coulomb gauge}
\sidx{Coulomb-villkoret}[{{\it Coulomb gauge}}]
Den andra ofta f{\"o}rekommande varianten {\"a}r {\it Coulomb-villkoret}
f{\"o}r gauge-transformen, i vilket vi fixerar potentialerna i det s{\aa}
kallade {\it Coulomb gauge}. I detta fall v{\"a}ljer vi $\psi({\bf x},t)$
s{\aa} att
$$
  \nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)=0.
$$
Observera att $\nabla\cdot{\bf A}({\bf x},t)=0$ sj{\"a}lvfallet {\it inte}
p{\aa} n{\aa}got s{\"a}tt inneb{\"a}r att $\nabla\times{\bf A}({\bf x},t)$
(som ju {\"a}r detsamma som magnetiska fl{\"o}dest{\"a}theten
${\bf B}({\bf x},t)$) n{\"o}dv{\"a}ndigtvis {\"a}r noll.

I detta fall blir v{\aa}rt krav p{\aa} $\psi({\bf x},t)$ att funktionen
ist{\"a}llet uppfyller
$$
  \nabla^2\psi({\bf x},t)
    -{{1}\over{c^2}}{{\partial^2\psi({\bf x},t)}\over{\partial t^2}}
  =-{{1}\over{c^2}}{{\partial\phi({\bf x},t)}\over{\partial t}},
$$
och vi ser att de partiella differentialekvationerna f{\"o}r potentialerna
ist{\"a}llet antar formen
$$
  \eqalign{
    \nabla^2\phi({\bf x},t)
    &=-{{\rho({\bf x},t)}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}},\cr
    \bigg(
      \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}
    \bigg){\bf A}({\bf x},t)
    &=-\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t)
      +{{1}\over{c^2}}\nabla{{\partial\phi({\bf x},t)}\over{\partial t}},\cr
  }
$$
det vill s{\"a}ga att den skal{\"a}ra potentialen $\phi({\bf x},t)$ nu
(t{\"a}mligen ov{\"a}ntat) uppfyller den vanliga {\it statiska}
Poisson-ekvationen (notera att vi i denna ekvation saknar tidsderivata, och
att h{\"o}ger- och v{\"a}nsterled {\"a}r direkt kopplade utan n{\aa}gon
tidsf{\"o}rdr{\"o}jning mellan k{\"a}lla och observationspunkt), med
{\it omedelbar} verkan fr{\aa}n en laddningsf{\"o}rdelning $\rho({\bf x},t)$,
med l{\"o}sningen
$$
  \phi({\bf x},t)={{1}\over{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}}
      \iiint_{{\Bbb R}^3}{{\rho({\bf x},t)}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV'.
$$
Ett annat s{\"a}tt att se p{\aa} detta {\"a}r att vi i denna gauge har den
skal{\"a}ra potentialen som en {\it direkt och omedelbar} Coulomb-potential
fr{\aa}n laddningst{\"a}theten $\rho({\bf x},t)$, d{\"a}rav att detta betecknas
som {\it Coulomb gauge}. I denna gauge l{\"o}ser vi principiellt f{\"o}rst
f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen (och ignorerar det faktum att potentialer
likt de elektromagnetiska f{\"a}lten i verkligheten sj{\"a}lvfallet propagerar
med ljusets hastighet), varvid vi anv{\"a}nder l{\"o}sningen $\phi({\bf x},t)$
som en k{\"a}llterm i den inhomogena v{\aa}gekvationen f{\"o}r
vektorpotentialen ${\bf A}({\bf x},t)$.

Coulomb-villkoret (Coulomb gauge) anv{\"a}nds ofta f{\"o}r f{\"a}ltproblem
d{\aa} vi har avsaknad av fria laddningar eller str{\"o}mmar. I detta fall
{\"a}r den skal{\"a}ra potentialen $\phi({\bf x},t)=0$, och vektorpotentialen
uppfyller d{\aa} den homogena v{\aa}gekvationen
$$
  \bigg(
    \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}
  \bigg){\bf A}({\bf x},t)=0.
$$
Det elektriska f{\"a}ltet ${\bf E}({\bf x},t)$ och magnetiska
fl{\"o}dest{\"a}theten ${\bf B}({\bf x},t)$ f{\aa}s d{\aa} som
$$
  {\bf E}({\bf x},t)=-{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}},
  \qquad\qquad
  {\bf B}({\bf x},t)=\nabla\times{\bf A}({\bf x},t).
$$
Eftersom vi uppenbarligen har en ofysikalisk situation i det att den
skal{\"a}ra potentialen i Coulomb gauge {\it omedelbart} f{\aa}r en effekt
p{\aa} en observationspunkt p{\aa} ett avst{\aa}nd fr{\aa}n k{\"a}llan (och
d{\"a}rmed bryter mot den grundl{\"a}ggande fysikaliska pricipen att ingenting
kan f{\"a}rdas fortare {\"a}n ljusets hastighet), s{\aa} infinner sig
fr{\aa}gan om detta verkligen kan vara korrekt?

H{\"a}r m{\aa}ste vi h{\aa}lla is{\"a}r begreppet potential och f{\"a}lt, och
f{\"o}rst av allt konstatera att vektorpotentialen ${\bf A}({\bf x},t)$, som i
Coulomb gauge bist{\aa}r med b{\aa}de det elektriska och magnetiska f{\"a}ltet,
f{\"o}ljer en v{\aa}gekvation som propagerar l{\"o}sningen med ljushastigheten.
I denna v{\aa}gekvation ing{\aa}r den omedelbara skal{\"a}ra potentialen som en
slags {\it artificiell k{\"a}llterm}, fr{\aa}n vilken vi aldrig direkt
extraherar n{\aa}gra f{\"a}lt. Med andra ord, s{\aa} {\"a}r Coulomb gauge
anv{\"a}ndbar i fr{\aa}nvaro av fria laddningar och str{\"o}mmar, men vi
m{\aa}ste d{\aa} vara noga med att inte tolka in n{\aa}gra elektrodynamiska
effekter direkt fr{\aa}n den skal{\"a}ra potentialen.

Om inga speciella omst{\"a}ndigheter r{\aa}der, {\"a}r en generell
rekommendation att anv{\"a}nda Lorenz gauge n{\"a}rhelst det {\"a}r
m{\"o}jligt, d{\aa} detta inte kan ge upphov till eventuella misstolkningar
av de retarderade potentialerna som bist{\aa}r med l{\"o}sningarna.
\vfill\eject

\section{Retarderade potentialer p{\aa} integralform}
\sidx{Retarderad potential}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jd potential p{\aa} integralform]
Vi kommer nu att forts{\"a}tta under antagandet att vi fixerar potentialerna
under Lorenz-villkoret. Som vi sett kan vi om vi fixerar den skal{\"a}ra
potentialen och vektorpotentialen i {\it Lorenz gauge} frikoppla ekvationerna
fr{\aa}n varandra, till tv{\aa} inhomogena v{\aa}gekvationer.

Ofta kan f{\"a}ltekvationerna f{\"o}r ${\bf E}({\bf x},t)$ och
${\bf B}({\bf x},t)$ l{\"o}sas genom att precis som i det elektrostatiska
fallet f{\"o}rst ber{\"a}kna integralerna f{\"o}r (den genom Lorenz-villkoret
frikopplade) skal{\"a}ra potentialen och vektorpotentialen. Dessa potentialer
{\"a}r dock f{\"o}r det elektrodynamiska fallet tidsberoende, oavsett att de i
{\it Lorenz gauge} {\"a}r frikopplade, och deras v{\"a}rden $\phi({\bf x},t)$
respektive ${\bf A}({\bf x},t)$ vid tidpunkten $t$ kommer att bero p{\aa}
summan av deras infinitesimala bidrag\numberedfootnote{{\AA}terigen, notera
  att vi i denna f{\"o}rel{\"a}sningsserie genomg{\aa}ende anv{\"a}nder
  notationen ``$dS$'' eller ``$d{\bf S}$'' f{\"o}r {\it ytelement};
  de ``$d{\bf A}$'' som vi h{\"a}r anv{\"a}nder {\"a}r bidrag till
  {\it vektorpotentialen} ${\bf A}$. Just denna risk f{\"o}r
  f{\"o}rv{\"a}xling mellan yta $A$ och vektorpotential ${\bf A}$
  {\"a}r sj{\"a}lva anledningen till att vi genomg{\aa}ende h{\aa}ller
  oss just till ``$dS$'' eller ``$d{\bf S}$'' f{\"o}r ytelement!}
$d\phi({\bf x},t')$ och $d{\bf A}({\bf x},t')$ fr{\aa}n en {\it tidigare}
tidpunkt $t'$.

\epsfig{figs/chargedist.1}\noindent
Den tid som det tar f{\"o}r den elektromagnetiska potentialen (eller f{\"o}r
den delen, det elektromagnetiska f{\"a}ltet) att n{\aa} observationspunkten
${\bf x}$ fr{\aa}n k{\"a}llpunkten ${\bf x}'$ {\"a}r helt enkelt
$\Delta t = |{\bf x}-{\bf x}'|/c$, vilket inneb{\"a}r att n{\"a}r vi summerar
alla infinitesimala bidrag i den vanliga volymsintegralen f{\"o}r potentialerna,
s{\aa} m{\aa}ste vi vara noga med att inte bara summera {\"o}ver rummet, utan
{\"a}ven ta h{\"a}nsyn till den tid som det tar f{\"o}r potentialen att n{\aa}
observationspunkten. H{\"a}rav att vi kallar den elektrodynamiska varianten av
den skal{\"a}ra potentialen och vektorpotentialen f{\"o}r {\it retarderade
potentialer} (eller ``f{\"o}rdr{\"o}jda'' potentialer, om man s{\aa} vill).
Dessa potentialer formuleras som volymintegralerna
$$
  \phi({\bf x},t)={{1}\over{4\pi\varepsilon_0}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
    {{\rho({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',\qquad\qquad
  {\bf A}({\bf x},t)={{\mu_0}\over{4\pi}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
    {{{\bf J}({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',
$$
d{\"a}r
$$
  t' = t - |{\bf x}-{\bf x}'|/c
$$
{\"a}r den {\it retarderade tiden} som beror av avst{\aa}ndet mellan k{\"a}lla
${\bf x}'$ och observationspunkt ${\bf x}$. Utifr{\aa}n dessa tv{\aa} integraler
f{\aa}s d{\"a}refter de elektromagnetiska f{\"a}lten ${\bf E}({\bf x},t)$ och
${\bf B}({\bf x},t)$ direkt fr{\aa}n relationerna
$$
  {\bf B}({\bf x},t)=\nabla\times{\bf A}({\bf x},t),\qquad\qquad
  {\bf E}({\bf x},t)
    =-\nabla\phi({\bf x},t)-{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}.
$$
Notera att denna evaluering av potentialerna sj{\"a}lvfallet sker vid den
{\it aktuella} tiden $t$ (vid vilken vid evaluerar f{\"a}lten); all tidigare
historik hos alla delbidragande volymselement f{\"o}r de retarderade
potentialerna har ju inkluderats genom sj{\"a}lva integrationen.
\vfill\eject

\section{Exempel: Halvv{\aa}gsantenn och emitterade elektromagnetiska f{\"a}lt}
\sidx{Halvv{\aa}gsantenn}\sidx{Antenn}[Halvv{\aa}gsantenn]
Som ett handfast exempel p{\aa} den praktiska till{\"a}mpningen av de
retarderade potentialerna $\phi({\bf x},t)$ och ${\bf A}({\bf x},t)$ skall vi
nu genom dessa potentialer ber{\"a}kna de emitterade elektriska och magnetiska
f{\"a}lten ${\bf E}({\bf x},t)$ och ${\bf B}({\bf x},t)$ fr{\aa}n en
halvv{\aa}gsantenn (s{\aa} kallad ``dipolantenn''), riktad l{\"a}ngs
${\bf e}_z$ och matad med str{\"o}mmen
$$
  I(z,t) = I_0\cos(2\pi z/\lambda)\sin(\omega t),
$$
f{\"o}r $-\lambda/4\le z\le \lambda/4$ och med $\omega/c=2\pi/\lambda$.
Evaluera f{\"a}lten vid en punkt ${\bf x}=x{\bf e}_x$ d{\"a}r $x\gg\lambda$.

\epsfig{figs/example.1}\noindent
{\it F{\"o}rst av allt: N{\aa}gra kvalificerade gissningar}
\smallskip
\noindent
\item{$\bullet$}{F{\"a}lten b{\"o}r i punkten ${\bf x}=x{\bf e}_x$ rimligen
    breda ut sig med en v{\aa}gvektor riktad l{\"a}ngs $x$-axeln.}
\item{$\bullet$}{I punkten ${\bf x}=x{\bf e}_x$ b{\"o}r det elektriska
    f{\"a}ltet av symmetrisk{\"a}l hos k{\"a}llan vara riktat l{\"a}ngs
    med $z$-axeln.}
\item{$\bullet$}{Eftersom den magnetiska fl{\"o}destt{\"a}theten {\"a}r
    ortogonal mot b{\aa}de v{\aa}gvektorn och det elektriska f{\"a}ltet,
    s{\aa} b{\"o}r det vara riktat l{\"a}ngs $y$-axeln (in{\aa}t i figurens
    plan).}
\item{$\bullet$}{Vi kan gissa oss till att en rimlig arbetsg{\aa}ng {\"a}r
    att fr{\aa}n str{\"o}mmen s{\"o}ka potentialerna och ur dessa f{\"a}lten,
    $$
      I(z,t)\quad\to\quad
      \underbrace{\phi({\bf x},t),{\bf A}({\bf x},t)}_{\hbox{retarderade
          potentialer}}
      \quad\to\qquad
      \underbrace{
        \vbox{
          \hbox{$\displaystyle
	    {\bf E}({\bf x},t)=-\nabla\phi({\bf x},t)
	        -{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}$}
          \hbox{$\displaystyle
	    {\bf B}({\bf x},t)=\nabla\times{\bf A}({\bf x},t)$}
	}
      }_{\hbox{f{\"a}lt}}
    $$}
\item{$\bullet$}{Vektorpotentialen kan ber{\"a}knas ur den givna str{\"o}mmen;
    dock beh{\"o}ver vi f{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen {\"a}ven den
    elektriska laddningen p{\aa} antennen. {\"A}ven om denna inte {\"a}r
    given, s{\aa} kan vi gissa oss till att denna i alla h{\"a}ndelser kan
    tas fram ur det allm{\"a}nt giltiga kontinuitetssambandet
    (konserveringslagen) f{\"o}r elektrisk laddning)
    $$
      {{\partial\rho}\over{\partial t}}+\nabla\cdot{\bf J}_{\bf f}=0.
    $$}
\vfill\eject
\noindent
{\it L{\"o}sning}
\smallskip
\noindent
Vi vet redan p{\aa} f{\"o}rhand att vektorpotentialen kan tas fram direkt ur
den givna str{\"o}mmen i antennen. F{\"o}r den skal{\"a}ra potentialen
beh{\"o}ver vi dock {\"a}ven laddningsdensiteten l{\"a}ngs antennen, n{\aa}got
som ej {\"a}r givet direkt i uppgiften. Fr{\aa}n den generella lagen om
konservering av laddning i tre dimensioner f{\aa}r vi dock fram
laddningsdensiteten {\it per l{\"a}ngdenhet} $\rho_{\ell}(z,t)$ p{\aa}
antennen fr{\aa}n den k{\"a}nda str{\"o}mmen, som:
$$
  {{\partial\rho}\over{\partial t}}+\nabla\cdot{\bf J}_{\bf f}=0
    \qquad\Rightarrow\qquad
  {{\partial\rho_{\ell}(z,t)}\over{\partial t}}
    +{{\partial I(z,t)}\over{\partial z}}=0,
$$
det vill s{\"a}ga, om vi nu integrerar detta i tiden (fr{\aa}n, s{\"a}g, $t=0$)
f{\"o}r att f{\aa} fram laddningen per l{\"a}ngdenhet l{\"a}ngs antennen,
$$
  \eqalign{
    \underbrace{\rho_{\ell}(z,t)}_{\hbox{(C/m)}}
     &=-\int^{t}_{0}{{\partial I(z,\tau)}\over{\partial z}}\,d\tau\cr
     &=\{\ I(z,t) = I_0\cos(2\pi z/\lambda)\sin(\omega t)\ \}\cr
     &=-I_0 \underbrace{{{\partial\cos(2\pi z/\lambda)}
            \over{\partial z}}}_{
	       \displaystyle\bigg(-{{2\pi}
	                     \over{\lambda}}\sin(2\pi z/\lambda)\bigg)}
	    \underbrace{\int^{t}_{0}\sin(\omega\tau)\,d\tau}_{
	       \displaystyle\bigg(-{{(\cos(\omega t)-1)}\over{\omega}}\bigg)}\cr
     &={{2\pi I_0}\over{\lambda\omega}}\sin(2\pi z/\lambda)
            (1-\cos(\omega t))\cr
     &=\{\ \lambda\omega=\lambda(2\pi c/\lambda)=2\pi c\ \}\cr
     &=\underbrace{(I_0/c)}_{\hbox{(C/m)}}\sin(2\pi z/\lambda)
            (1-\cos(\omega t))\cr
  }
$$
Ur detta f{\aa}r vi d{\"a}refter direkt den retarderade skal{\"a}ra potentialen
som
$$
  \eqalign{
    \phi({\bf x},t)
      &={{1}\over{4\pi\varepsilon_0}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
        {{\rho({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV'\cr
      &=\{\ \hbox{linjeladdning}\ \to\ \hbox{en-dimensionell integral}\ \}\cr
      &={{1}\over{4\pi\varepsilon_0}}\int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}
        {{\rho_{\ell}({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dz'\cr
      &={{I_0}\over{4\pi\varepsilon_0 c}}\int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}
        {{\sin(2\pi z'/\lambda)(1-\cos(\omega t'))}
	    \over{|x{\bf e}_x-z'{\bf e}_z|}}\,dz'\cr
      &=\{\ \hbox{retarderad tid,}\ t'=t-|{\bf x}-{\bf x}'|/c
            =t-\sqrt{x^2+z'^2}/c\ \}\cr
      &={{I_0}\over{4\pi\varepsilon_0 c}}\int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}
        {{\sin(2\pi z'/\lambda)(1-\cos(\omega(t-\sqrt{x^2+z'^2}/c)))}
	    \over{\sqrt{x^2+z'^2}}}\,dz'\cr
      &=\{\ \hbox{Antagande i problemet:}\ x\gg\lambda\ \Leftrightarrow\
      x\gg z\in[-\lambda/4,\lambda/4]\ \}\cr
      &={{I_0}\over{4\pi\varepsilon_0 c x}}(1-\cos(\omega(t-x/c)))
          \underbrace{
	    \int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}\sin(2\pi z'/\lambda)\,dz'}_{=0}\cr
      &=0\cr
  }
$$
Detta n{\aa}got sn{\"o}pliga resultat {\"a}r n{\aa}got vi faktiskt borde ha
anat redan utifr{\aa}n den symmetriska integralen l{\"a}ngs $z$ och den
{\it anti-symmetriska} formen p{\aa} integranden $\sin(2\pi z/\lambda)$.
Att den skal{\"a}ra potentialen $\phi({\bf x},t)$ {\"a}r identiskt noll betyder
dock {\it inte} att det elektriska f{\"a}ltet {\"a}r noll, vilket vi l{\"a}tt
kan f{\"o}rledas att tro ifr{\aa}n det {\it elektrostatiska} sambandet
${\bf E}=-\nabla\phi$, vilket inte {\"a}r applicerbart r{\"a}tt av f{\"o}r
{\it elektrodynamiska} (tidsberoende) problem som detta. Ist{\"a}llet {\"a}r
det tidsderivatan av vektorpotentialen som kommer att bist{\aa} med detta.
\sidx{Elektrodynamik}

Den retarderade vektorpotentialen f{\aa}s (som vi tidigare n{\"a}mnt) direkt
fr{\aa}n den givna str{\"o}m\-f{\"o}r\-del\-ningen $I(z,t)$ som
\sidx{Retarderad potential}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jd potential]
$$
  \eqalign{
    {\bf A}({\bf x},t)
      &={{\mu_0}\over{4\pi}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
        {{{\bf J}(z',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV'\cr
      &=\{\ \hbox{linjestr{\"o}m; {\"a}ven noga att vi anv{\"a}nder
                 {\it retarderad} tid $t'$}\ \}\cr
      &={{\mu_0}\over{4\pi}}\int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}
        {{I(z',t'){\bf e}_z}\over{|x{\bf e}_x-z'{\bf e}_z|}}\,dz'\cr
      &={{\mu_0 I_0}\over{4\pi}}{\bf e}_z
        \int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}
        {{\cos(2\pi z'/\lambda)\sin(\omega t')}\over{\sqrt{x^2+z'^2}}}\,dz'\cr
      &=\{\ \hbox{retarderad tid,}\ t'=t-|{\bf x}-{\bf x}'|/c
            =t-\sqrt{x^2+z'^2}/c\ \}\cr
      &={{\mu_0 I_0}\over{4\pi}}{\bf e}_z
        \int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}
        {{\cos(2\pi z'/\lambda)\sin(\omega(t-\sqrt{x^2+z'^2}/c))}
          \over{\sqrt{x^2+z'^2}}}\,dz'\cr
      &=\{\ x\gg\lambda\ \}\cr
      &\approx{{\mu_0 I_0 \sin(\omega(t-x/c))}\over{4\pi x}}{\bf e}_z
        \underbrace{
	    \int^{\lambda/4}_{-\lambda/4}\cos(2\pi z'/\lambda)\,dz'
	}_{=\lambda/\pi}\cr
      &={{\mu_0 I_0 \lambda \sin(\omega(t-x/c))}\over{4\pi^2 x}}{\bf e}_z\cr
  }
$$
Fr{\aa}n detta erh{\aa}lls den magnetiska fl{\"o}dest{\"a}theten vid
observationspunkten ${\bf x}$ som
$$
  \eqalign{
    {\bf B}({\bf x},t)
      &=\nabla\times{\bf A}({\bf x},t)\cr
      &=\bigg(
          {\bf e}_x{{\partial}\over{\partial x}}
	  +\underbrace{
             {\bf e}_y{{\partial}\over{\partial y}}
            +{\bf e}_z{{\partial}\over{\partial z}}}_{\to0}\bigg)\times
      {{\mu_0 I_0 \lambda \sin(\omega(t-x/c))}\over{4\pi^2 x}}{\bf e}_z\cr
      &=\underbrace{({\bf e}_x\times{\bf e}_z)}_{=-{\bf e}_y}
        {{\mu_0 I_0 \lambda}\over{4\pi^2}}
        {{\partial}\over{\partial x}}
          \bigg({{\sin(\omega(t-x/c))}\over{x}}\bigg)\cr
      &=-{\bf e}_y{{\mu_0 I_0 \lambda}\over{4\pi^2}}
          \bigg({{-(\omega/c)\cos(\omega(t-x/c))\cdot x
	             -\sin(\omega(t-x/c))\cdot 1}\over{x^2}}\bigg)\cr
      &={\bf e}_y{{\mu_0 I_0 \lambda}\over{4\pi^2}}
          \bigg({{(\omega x/c)\cos(\omega(t-x/c))
	             +\sin(\omega(t-x/c))}\over{x^2}}\bigg)\cr
      &={\bf e}_y{{\mu_0 I_0 \lambda}\over{4\pi^2}}
          \bigg({{\omega}\over{c}}{{\cos(\omega(t-x/c))}\over{x}}
	             +{{\sin(\omega(t-x/c))}\over{x^2}}\bigg)\cr
  }
$$
P{\aa} samma s{\"a}tt erh{\aa}lles den elektriska f{\"a}ltstyrkan vid
observationspunkten ${\bf x}$ som
$$
  \eqalign{
    {\bf E}({\bf x},t)
      &=-\underbrace{\nabla\phi({\bf x},t)}_{=0}
          -{{\partial {\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}}\cr
      &=-{\bf e}_z{{\partial}\over{\partial t}}\bigg(
           {{\mu_0 I_0 \lambda \sin(\omega(t-x/c))}\over{4\pi^2 x}}
	   \bigg)\cr
      &=-{\bf e}_z{{\mu_0 I_0 \lambda\omega}\over{4\pi^2}}
           {{\cos(\omega(t-x/c))}\over{x}}\cr
      &=\{\ \omega\lambda=2\pi c\ \}\cr
      &=-{\bf e}_z{{\mu_0 c I_0 \lambda\omega}\over{2\pi}}
           {{\cos(\omega(t-x/c))}\over{x}}\cr
  }
$$
\vfill\eject
\noindent
{\it N{\aa}gra intressanta saker att observera ur l{\"o}sningen}
\smallskip
\noindent
\item{$\bullet$}{De elektriska och magnetiska f{\"a}lten {\"a}r riktade precis
    s{\aa} som vi f{\"o}rv{\"a}ntade oss, med ${\bf E}$ l{\"a}ngs ${\bf e}_z$
    och med ${\bf B}$ l{\"a}ngs ${\bf e}_y$.}
\item{$\bullet$}{Vi kan enkelt verifiera l{\"o}sningarna (utf{\"o}r g{\"a}rna
    denna exercis!) f{\"o}r f{\"a}lten ${\bf E}({\bf x},t)$ och
    ${\bf B}({\bf x},t)$ mot varandra genom att utv{\"a}rdera h{\"o}ger-
    och v{\"a}nsterledet i Faradays lag, $$\nabla\times{\bf E}({\bf x},t)
    =-{{\partial{\bf B}({\bf x},t)}\over{\partial t}}.$$}
\item{$\bullet$}{N{\aa}got mer f{\"o}rv{\aa}nande {\"a}r att det elektriska
    f{\"a}ltet avtar med avst{\aa}ndet fr{\aa}n antennen som ${\bf E}\sim 1/x$,
    medan magnetf{\"a}ltet ${\bf B}$ best{\aa}r av tv{\aa} termer med den ena
    $\sim 1/x$ och den andra $\sim 1/x^2$. Vi m{\aa}ste h{\"a}r dock h{\aa}lla
    i minnet att vi d{\aa} vi n{\"a}rmar oss n{\"a}rf{\"a}ltet, s{\aa}
    g{\"a}ller inte antagandet om en direkt proportionalitet mellan det
    elektriska och magnetiska f{\"a}ltet. Faradays lag, som {\"a}r grunden
    {\"a}ven f{\"o}r denna avvikelse mellan f{\"a}ltens avtagande med $x$ i
    n{\"a}rf{\"a}ltet, g{\"a}ller dock alltid.}
\item{$\bullet$}{Eftersom ${\bf E}$ f{\"o}r $x\gg\lambda$ avtar som $\sim 1/x$,
    s{\aa} avtar f{\"a}ltstyrkan effektivt p{\aa} samma s{\"a}tt som en
    motsvarande {statisk elektrisk monopol}. Att vi vi har avtagandet som
    ${\bf E}\sim 1/x$ {\"a}r faktiskt f{\"o}ruts{\"a}ttningen f{\"o}r
    l{\aa}ngdistanskommunikation med radiofrekvenser! (Man skulle m{\"o}jligen,
    i en analogi med det elektrostatiska fallet, annars kunna f{\"o}rv{\"a}nta
    sig att f{\"a}ltet spreds som fr{\aa}n en elektrostatisk dipol, som
    ${\bf E}\sim 1/x^2$, men detta {\"a}r allts{\aa} felaktigt.)}
\item{$\bullet$}{Allts{\aa}: Det {\it elektrodynamiska} (tidsberoende)
    f{\"a}lten skiljer sig radikalt fr{\aa}n de {\it elektrostatiska}
    (tidsoberoende)!}
\vfill\eject

\section{Sammanfattning av F{\"o}rel{\"a}sning~11 -- Retarderade potentialer}
\item{$\bullet$}{Den elektro{\it dynamiska} formen f{\"o}r den skal{\"a}ra
  potentialen $\phi$ och vektorpotentialen ${\bf A}$ lyder
  \sidx{Skal{\"a}r potential $\phi$}[Elektrodynamisk]
  \sidx{Vektorpotential ${\bf A}$}[Elektrodynamisk]
  $$
    \eqalign{
      {\bf E}({\bf x},t)
        &=-\nabla\phi({\bf x},t)
            -{{\partial{\bf A}({\bf x},t)}\over{\partial t}},\cr
      {\bf B}({\bf x},t)
        &=\nabla\times{\bf A}({\bf x},t).\cr
    }
  $$}
\item{$\bullet$}{Den s{\aa} kallade {\it gauge-transformationen} av
  potentialerna,\sidx{Gauge-transform}\sidx{Gauge-funktion}
  $$
    \eqalign{
      \phi'({\bf x},t)&=\phi({\bf x},t)
        -{{\partial\psi({\bf x},t)}\over{\partial t}},\cr
      {\bf A}'({\bf x},t)&={\bf A}({\bf x},t)+\nabla\psi({\bf x},t),\cr
    }
  $$
  d{\"a}r $\psi$ {\"a}r en funktion som {\"a}r tv{\aa} g{\aa}nger kontinuerligt
  differentierbar i rum och tid, l{\"a}mnar de elektromagnetiska f{\"a}lten
  of{\"o}r{\"a}ndrade. Vi kan med denna transform till viss del v{\"a}lja
  vilken form av v{\aa}gekvation vi {\"o}nskar f{\"o}r potentialerna.}
\item{$\bullet$}{Under {\it Lorenz-villkoret}, d{\"a}r vi v{\"a}ljer $\psi$
  s{\aa} att\sidx{Lorenz-villkoret}
  $$
    \nabla\cdot{\bf A}'({\bf x},t)+
      {{1}\over{c^2}}
      {{\partial\phi'({\bf x},t)}\over{\partial t}} = 0,
  $$
  s{\aa} frikopplar ekvationerna f{\"o}r potentialerna fr{\aa}n varandra,
  resulterande i v{\aa}gekvationerna
  $$
    \eqalign{
      \Big(
        \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}
      \Big)\phi({\bf x},t)
          &=-{{\rho({\bf x},t)}\over{\varepsilon_0\varepsilon_{\rm r}}},\cr
      \Big(
        \nabla^2-{{1}\over{c^2}}{{\partial^2}\over{\partial t^2}}
      \Big){\bf A}({\bf x},t)
          &=-\mu_0{\bf J}_{\rm f}({\bf x},t).\cr
    }
  $$}
\item{$\bullet$}{De {\it retarderade potentialerna} (f{\"o}rdr{\"o}jda
  potentialerna) tar h{\"a}nsyn till den tidsf{\"o}rdr{\"o}jning som olika
  k{\"a}llor vid k{\"a}llpunkterna ${\bf x}'$ har fram till att deras
  respektive bidrag observeras vid en observationspunkt ${\bf x}$, och
  formuleras p{\aa} integralform som
  \sidx{Retarderad potential}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jd potential]
  $$
    \eqalign{
      \phi({\bf x},t)&={{1}\over{4\pi\varepsilon_0}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
        {{\rho({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',\cr
      {\bf A}({\bf x},t)&={{\mu_0}\over{4\pi}}\iiint_{{\Bbb R}^3}
        {{{\bf J}({\bf x}',t')}\over{|{\bf x}-{\bf x}'|}}\,dV',\cr
    }
  $$
  d{\"a}r $t'=t-|{\bf x}-{\bf x}'|/c$ {\"a}r den {\it retarderade tiden}
  fr{\aa}n ${\bf x}'$ till ${\bf x}$.
  \sidx{Retarderad tid}[Tidsf{\"o}rdr{\"o}jning]}
\index
\bye